欽定四庫全書
數學鑰卷五下之上
柘城杜知耕撰
盈朒
一則
盈適足
設和買一物每人出銀七兩盈六兩每人出銀五兩適足求物價人數法曰列七兩盈六兩于右列五兩于左以左上乗右下【得三十兩】為物實右下六兩為人實
另以左上右上對減【余二兩】為
法以法除物實得一十五兩
為物價以法除人實得三為
人數
解曰甲為七兩乙為五兩
丙為五兩七兩對減之二兩各三倍之為丁戊己己即出七兩所盈之六兩己與戊或與丁之比例必若丙與乙或與甲也丁與甲戊與乙之比例必皆若己與丙也法以五兩乗盈六兩以對減所
余之二兩除之者借
丙與己之比例因乙
以求戊也戊即物價
倍數則人數也
二則
朒適足
設貴賤二物貴價七兩賤價五兩以銀買貴物朒六兩買賤物適足求物數銀數法曰列貴價
七兩朒六兩于右列賤價
五兩于左以左上乗右下
【得三十兩】為銀實右下六兩
為物實另以左上右上
對減【余二兩】為法以法除
銀實得一十五兩為銀數以法除物實得三為物數
解曰甲為賤價乙為貴價丙為兩價之較丁為賤物之共價即銀數也戊為貴物之共價己則
兩共價之較也丁與
甲戊與乙之比例皆
若己與丙此借丙與
己之比例因甲以求
丁也既得丁而戊不
待言矣
三則
兩盈
設有銀七人分之盈二兩五人分之盈八兩求共銀及分銀數法曰列七人盈二兩于右列五人盈八兩于左先以右上乗左下【得五十六兩】次以左上乗右下【得十兩】兩數對減【余四十六兩】為共銀實又以左下右下對減【余六兩】為分銀實另以左上右上對減【余二】為法以法除
共銀實得二十三兩為共
銀數以法除分銀實得三
兩為每人分銀數
解曰七人分之盈二兩是
七倍三兩朒于共銀之數
以五人乗之則是三十五倍三兩朒于五倍共銀之數也又五人分之盈八兩是五倍三兩朒于共銀之數以七人乗之則是三十五倍三兩朒于七倍共銀之數也今以三十五倍三兩朒于五倍共銀之數【即一十兩】減三十五倍三兩朒于七倍共銀之數【即五十六兩】所余必二倍共銀之數矣故以五七對減之二為法除之即得共銀也以法除分銀實得分銀數與前二則除人實物實得人數物數同
四則
兩朒
設有銀每人分七兩朒八兩每人分五兩朒二兩求人及銀數法曰列分七兩朒八兩于右列分五兩朒二兩于左先以右上乗左下【得十四兩】次以左上乗右下
【得四十兩】兩數相減【余二十六兩】為
銀實又以左下右下對減
【余六兩】為人實另以左上右
上對減【余二兩】為法以法除
銀實得一十三兩為銀數
以法除人實得三為人數
解曰以五兩乗朒八兩得四十兩為三十五倍三兩盈于五倍共銀之數以七兩乘朒二兩得一十四兩為三十五倍三兩盈于七倍共銀之數相減之余必為二倍共銀之數故以法除之得銀數余同前解五則
一盈一朒
設木不知高以索五折比之木朒二尺七折比之木盈三尺求木高及索長法曰以五折因朒二尺得十
尺以七折因盈三尺得二
十一尺列五折朒十尺于
右列七折盈二十一尺于
左先以右上乘左下【得一百零
五尺】次以左上乗右下【得七十尺】
兩數并【共一百七十五尺】為索實又并左下右下【共三十尺】為木實另以左上右上對減【余二折】為法以法除索實得八十七尺五寸為索長以法除木實得一十五尺五寸為木高
觧曰同此一索或為七折或為五折必五折長而七折短也雖不知每折之度而每五長折之盈于五短折者必二短折每七短折之朒于七長折者必二長折今長折盈于木高二尺【木朒于索是索盈于木也】五長折盈于五倍木高必十尺以七乗十尺則為三十五長折盈于三十五倍木高之度短折朒于木高三尺【木盈于索是索朒于木也】七短折朒于七倍木高必二十一尺以五乘二十一尺則為三十五短折朒于三十五倍木高之度兩數并【即一百七十五尺為索實者】則三十五長折盈于三十五短折之度矣然三十五長折盈于三十五短折者即七倍五長折盈于七倍五短折之度亦即五倍七短折朒于五倍七長折之度也五倍七短折之朒于五倍七長折者十長折之度也七倍五長折之盈于七倍五短折者十四短折之度也十四短折為索之倍長十長折亦索之倍長也故以五七對減之二除之得索長余同前解
六則
帶分子母盈適足【朒適足同】
設物以銀三分之二買之盈五兩以銀二分之一買之適足求物價銀數法曰列母三子二盈五兩于右列母二子一于左先以右上乘左中得三兩即以三兩乘右下【得一十五兩】為物實又以兩母相乗得六兩即
以六兩乗右下【得三
十兩】為銀實又以左
上乗右中【得四兩】與
左中得數相減【余一
兩】為法以法除物
實仍得一十五兩為物價以法除銀實仍得三十兩為銀數
解曰以兩母相乗得六兩取兩母之齊數也【六兩為二倍三兩亦三倍二兩也】右母乗左子得三兩即六兩二分之一也左母乗右子得四兩即六兩三分之二也以六兩三分之二之四兩與六兩二分之一之三兩較相差止一兩今三分之二盈五兩二分之一適足是元銀三分之二與元銀二分之一較則相差五兩矣以相差之五兩與相差之一兩較為五倍之比例因知元銀之與六兩物價之與三兩必皆為五倍之比例法以六兩乗五兩以一兩除之者是借一兩與五兩之比例因六兩以求元銀也以三兩乗五兩以一兩除之者亦借一兩與五兩之比例因三兩以求物價也七則
帶分子母兩盈【兩朒同】
設物以銀四分之三買之盈七兩五錢以銀六分之四買之盈五兩求物價銀數法曰列母四子三盈七兩五錢于右列母六子四盈五兩于左先以右上乘
左中得一十六兩
即以一十六兩乗
右下【得一百二十兩】次以
左上乗右中得一
十八兩即以一十
八兩乗左下【得九十兩】兩數相減【余三十兩】為物實又以兩母相乗得二十四兩以二十四兩乗右下【得一百八十兩】以二十四兩乗左下【得一百二十兩】兩數相減【余六十兩】為銀實另以左中右中兩得數相減【余二兩】為法以法除物實得一十五兩為物價以法除銀實得三十兩為銀數解曰二十四兩為兩母之齊數左中得十六兩為二十四兩六分之四右中得十八兩為二十四兩四分之三兩數相差二兩今盈五兩與盈七兩五錢較則差二兩五錢是二十四兩與元銀之比例必若二兩與二兩五錢矣以二十四兩乗兩下對減為銀實以法除之亦借比例法也【先乗后相減與先減后乗得數同】又求物實本當以元銀六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得兩率之數不得不借與兩率比例等者用之與兩率之比例等者乃二十四兩六分之四之十六與四分之三之十八也故以之互乗兩下左得九十兩為一十八倍元銀六分之四盈于一十八倍物價之數右得一百二十兩為一十六倍元銀四分之三盈于一十六倍物價之數而一十六倍四分之三與一十八倍六分之四兩數實等是以對減之余即為二倍物價也故以十六十八對減之二除之得物價八則
帶分子母一盈一朒
設物以銀十二分之七買之盈二兩五錢以銀六分之二買之朒五兩求物價銀數法曰列母十二子七盈二兩五錢于右列母六子二朒五兩于左先以右上乗左中得二十四兩即以二十四兩乗右下【得六十兩】
次以左上乗右中
得四十二兩即以
四十二兩乗左下
【得二百一十兩】兩數并【共二
百七十兩】為物實又以
兩母相乗得七十二兩以七十二兩乗左下【得三百六十兩】以七十二兩乗右下【得一百八十兩】兩數并【共五百四十兩】為銀實另以左中右中兩得數相減【余一十八兩】為法以法除物實得一十五兩為物價以法除銀實得三十兩為銀數
解曰七十二兩為兩母之齊數二十四兩為七十二兩六分之二四十二兩為七十二兩十二分之七兩數相差十八兩并盈朒兩數共七兩五錢【一盈一朒相并猶兩盈兩朒相減也】為元銀十二分之七與六分之二相差之數是七十二兩與元銀之比例必若十八兩之與七兩五錢矣以七十二兩乗兩下相并為銀實以十八除之亦借比例法也【解同前】又求物實以四十二兩乗左下得二百一十兩為四十二倍六分之二朒于四十二倍物價之數以二十四兩乗右下得六十兩為二十四倍十二分之七盈于二十四倍物價之數然四十二倍六分之二實與二十四倍十二分之七等今并六十兩與二百一十兩共二百七十兩必四十二倍物價盈于二十四倍物價之數也四十二倍物價之盈于二十四倍物價者即十八倍物價故以十八為法除之得物價○又法以左中得數二十四兩乗左下得數二百一十兩得五千零四十兩以右中得數四十二兩乗右下得數六十兩得二千五百二十兩并兩數共七千五百六十兩另以兩子二七相乗得一十四兩除之得五百四十兩為銀實以前法十八除之得數同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之猶以二十四與四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以兩中相乗得一十四除之猶以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以兩母相乗得七十二以乗兩下得數相并為銀實與后法無異故得數同也
數學鑰卷五下之上