魏 劉徽 注
唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋
句股〔1〕以御高深廣遠
今有句三尺〔2〕，股四尺〔3〕，問：為弦幾何〔4〕？
荅曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，問：為股幾何？
荅曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，問：為句幾何？
荅曰：三尺。
句股短面曰句，長面曰股，相與結角曰弦。句短其股，股短其弦〔5〕。將以施于諸率，故先具此術以見其原也〔6〕。術曰：句股各自乘，并，而開方除之，即弦〔7〕。句自乘為朱方，股自乘為青方〔8〕，令出入相補，各從其類〔9〕，因就其余不移動也，合成弦方之冪〔10〕。開方除之，即弦也。
又，股自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即句〔11〕。臣淳風等謹按：此術以句、股冪合成弦冪〔12〕。句方于內，則句短于股。令股自乘，以減弦自乘，余者即句冪也。故開方除之，即句也。
又，句自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即股〔13〕。句、股冪合以成弦冪，令去其一，則余在者皆可得而知之。
今有圓材徑二尺五寸，欲為方版〔14〕，令厚七寸。問：廣幾何？
荅曰：二尺四寸。
術曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘減之，其余，開方除之，即廣〔15〕。此以圓徑二尺五寸為弦，版厚七寸為句，所求廣為股也〔16〕。
今有木長二丈，圍之三尺。葛生其下，纏木七周，上與木齊〔17〕。問：葛長幾何？
荅曰：二丈九尺。
術曰：以七周乘圍為股，木長為句，為之求弦。弦者，葛之長〔18〕。據圍廣，求從為木長者其形葛卷裹袤〔19〕。以筆管青線宛轉，有似葛之纏木。解而觀之，則每周之間自有相間成句股弦〔20〕。則其間葛長，弦。七周乘圍，并合眾句以為一句；木長而股，短，術云木長謂之股，言之倒〔21〕。句與股求弦，亦無圍，弦之自乘冪出上第一圖〔22〕。句、股冪合為弦冪，明矣。然二冪之數謂倒在于弦冪之中而已，可更相表里，居里者則成方冪，其居表者則成矩冪〔23〕。二表里形訛而數均〔24〕。 又按：此圖句冪之矩青，卷白表〔25〕，是其冪以股弦差為廣，股弦并為袤，而股冪方其里〔26〕。股冪之矩青，卷白表〔27〕，是其冪以句弦差為廣，句弦并為袤，而句冪方其里〔28〕。是故差之與并，用除之，短、長互相乘也〔29〕。
【注釋】
〔1〕句股：中國古典數學的重要科目，由先秦“九數”中的“旁要”發展而來。據《周髀算經》，勾股知識在中國起源很早，起碼可以追溯到公元前11世紀的商高。商高答周公問曰：“句廣三，股脩四，徑隅五。”公元前5世紀陳子答榮方問中已有勾股術的抽象完整的表述。賈憲《黃帝九章算經細草》將勾股容方解法稱為勾股旁要法，我們由此推測，“旁要”除了測望城邑等一次測望問題外，還應當包括勾股術、勾股容方、勾股容圓等內容。鄭玄引鄭眾注“九數”曰：“今有句股、重差也。”由此并根據《九章算術》體例和內容的分析，可以知道，勾股問題，特別是解勾股形的內容在漢代得到了大發展，并形成了一個科目。它與“旁要”有關，但在深度、廣度和難度上都超過了后者。張蒼、耿壽昌整理《九章算術》，將其補充到原有的“旁要”卷，并將其改稱“句股”。
〔2〕句：勾股形中較短的直角邊，故劉徽說“短面曰句”。趙爽《周髀算經注》云：“橫者謂之廣。句亦廣。廣，短也。”
〔3〕股：勾股形中較長的直角邊，故劉徽說“長面曰股”。趙爽《周髀算經注》云：“從者謂之脩。股亦脩。脩，長也。”
〔4〕弦：勾股形中的斜邊，故劉徽說“相與結角曰弦”。趙爽《周髀算經注》云：“徑，直；隅，角也。亦謂之弦。”
〔5〕相與結角：謂與勾、股分別結成角的那條線。勾股形如圖9-1（1）。劉徽提出了勾股形中勾、股、弦的定義。設勾、股、弦分別為a，b，c，劉徽給出了勾、股、弦的關系，a＜b＜c。
圖9-1 勾股術的出入相補
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔6〕劉徽指出了勾股術在勾股章中的地位。原：系楊輝本原文，《九章算術新校》從。本書初版依戴震輯錄本作“源”。“原”系“源”之古字。今依《新校》本。
〔7〕《九章算術》勾股術給出勾股定理
〔8〕《九章算術》與劉徽時代常給圖形涂上朱、青、黃等不同的顏色。這里勾方為朱方，股方為青方，但并不是固定的。下文勾股容方、勾股容圓中朱、青分別表示位于勾、股上的小勾股形。
〔9〕出入相補，各從其類：這就是著名的出入相補原理。它在卷一圭田等術劉徽注中被稱為以盈補虛，在卷五城垣等術劉徽注中被稱為損廣補狹。參見卷一圭田術注〔6〕。
〔10〕這是劉徽記述的使用出入相補原理對勾股術的證明。由于文字過于簡括，如何出入相補，歷來說法不一，有人統計，有30余種不同方式。圖9-1（2）的出入相補方式見之于李潢《九章算術細草圖說》。分別作以勾、股、弦為邊長的正方形，并將勾方、股方、弦方進行分割，將勾方中的Ⅰ，股方中的Ⅱ，Ⅲ分別移到弦方中的Ⅰ′，Ⅱ′，Ⅲ′，其余部分不移動，則勾方與股方恰好合成弦方。因此a2+b2=c2。
〔11〕此是勾股定理的另一種形式
〔12〕此即a2+b2=c2。
〔13〕此是勾股定理的第三種形式
〔14〕版：木板。后作“板”。此問與下問都是勾股術的直接應用，我們合為一組。
〔15〕此即應用公式（9-1-2），。
〔16〕此謂版厚、版廣和圓材的直徑構成一個勾股形的勾、股、弦，設分別為a，b，c，則由勾股又術（9-1-2），版廣為。如圖9-2。這就證明了《九章算術》解法的正確性。由直徑作為勾股形的弦可以看出，《九章算術》的作者已經通曉圓的一個重要性質：圓徑所對的圓周角必定是直角。
圖9-2 圓材為方版
（采自譯注本《九章算術》）
〔17〕葛纏木的情形如圖9-3（1）所示。
圖9-3 葛纏木
（采自譯注本《九章算術》）
〔18〕《九章算術》將葛纏木問題化成勾股問題，即木長作為勾，木之周長乘纏木周數作為股，葛長作為弦。此問亦為勾股術的直接應用，故與上一問合為一組。
〔19〕據圍廣，求從為木長者其形葛卷裹袤：根據圍的廣，求縱為木長而其形狀如裹卷該木的葛的長。
〔20〕此謂將纏木之葛展成平面，則每一周都成為一個小勾股形。小勾股形的弦是葛長的一部分，如圖9-3（2）。
〔21〕此謂將每個小勾股形的勾、股分別平移到首、末兩個小勾股形的勾、股所在的直線上，與葛長所展成的線段形成一個大勾股形。在勾股形中，一般將橫的直角邊稱作勾，趙爽說：“橫者謂之廣，句亦廣。”縱的直角邊稱作股，趙爽說：“從者謂之脩，股亦脩。”以縱、橫而論，“七周乘圍”就是“并合眾句以為一句”，為21尺，是橫的，應該作為勾。木長20尺是縱的，應該作為股。然而這樣勾長，股短，與“短面曰句，長面曰股”的規定相反，所以說“言之倒”。故術文以七周乘圍為股，木長為勾。
〔22〕此謂在此問這種青線宛轉若干周而展成的勾股問題中，勾與股求弦，如同“無圍”的情形。弦冪亦出自第一圖，即本章第一問已佚的圖，故下文云“句、股冪合為弦冪，明矣”。
〔23〕劉徽進一步指出，勾冪與股冪合成弦冪時互為表里。或者股冪呈正方形，居里，勾冪呈折矩形，居表，如圖9-4（1）；或者勾冪呈正方形，居里，股冪呈折矩形，居表，如圖9-4（2）。
圖9-4 股方勾矩與勾方股矩
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔24〕二表里形訛而數均：此謂勾冪（或股冪）居里與居表形狀不同，而面積卻相等。
〔25〕此圖句冪之矩青，卷白表：此圖中勾冪之矩呈青色，卷曲在白色的股方表面。按：在勾股章中，“朱”不一定表示勾冪，“青”也不一定表示股冪。本章有幾處用朱冪、青冪表示勾股形的面積，亦有用青冪表示勾矩者。
〔26〕“是其冪以股弦差為廣”三句：此謂勾冪之矩的廣為股弦差c-b，長為股弦并c+b，股冪是正方形，在勾冪之矩的里面，如圖9-4（1）。
〔27〕股冪之矩青，卷白表：股冪之矩呈青色，卷曲在白色的勾方表面。
〔28〕“是其冪以句弦差為廣”三句：此謂股冪之矩的廣為勾弦差c-a，長為勾弦并c+a，勾冪是正方形，在股冪之矩的里面，如圖9-4（2）。
〔29〕此謂由于勾（或股）矩之冪是短（股弦差或勾弦差）、長（股弦并或勾弦并）互相乘，所以勾（或股）弦差與勾（或股）弦并的關系用除法表示出來，亦即勾（或股）弦差與勾（或股）弦并的關系就是用其中之一除短長互相乘：
【譯文】
勾股為了處理有關高深廣遠的問題
假設勾股形中勾是3尺，股是4尺，問：相應的弦是多少？
答：5尺。
假設勾股形中弦是5尺，勾是3尺，問：相應的股是多少？
答：4尺。
假設勾股形中股是4尺，弦是5尺，問：相應的勾是多少？
答：3尺。
勾股在勾股形中，短邊叫作勾，長邊叫作股，與勾、股分別形成一個角的邊叫作弦。勾比股短，股比弦短。將要把勾股術實施于各種率中，所以先提出此術，為的是展現其源頭。術：勾、股各自乘，相加，而對之作開方除法，就得到弦。勾自乘為紅色的正方形，股自乘為青色的正方形，現在使它們按照自己的類別進行出入相補，而使其余的部分不移動，就合成以弦為邊長的正方形之面積。對之作開方除法，就得到弦。
又，股自乘，以它減弦自乘，對其余數作開方除法，就得到勾。淳風等按：此術中以勾方之面積與股方之面積合成弦方之面積。勾所形成的正方形在股所形成的正方形的里面，就是勾比股短。使股自乘，以它減弦自乘，其剩余的部分就是勾方之面積。所以對之作開方除法，就得到勾。
又，勾自乘，以它減弦自乘，對其余數作開方除法，就得到股。勾方之面積與股方之面積合以成弦方之面積，現在去掉其中之一，則余下的那個都是可以知道的。
假設有一圓形木材，其截面的直徑是2尺5寸，想把它鋸成一塊方板，使它的厚為7寸。問：它的寬是多少？
答：2尺4寸。
術：使直徑2尺5寸自乘，以7寸自乘減之，對其余數作開方除法，就得到它的寬。這里以圓的直徑2尺5寸作為弦，方板的厚7寸作為勾，所要求的方板的寬就是股。
假設有一株樹長是2丈，一圍的周長是3尺。有一株葛生在它的根部，纏繞樹干共7周，其上與樹干頂端相齊。問：葛長是多少？
答：2丈9尺。
術：以7周乘圍作為股，樹長作為勾，求它們所對應的弦。弦就是葛的長。根據一圍的周長，求長為樹長而其形狀如裹卷該樹的葛的長。取一支筆管，用青線宛轉纏繞之，就像葛纏繞樹。把它解開而觀察之，則每一周之間各自間隔成勾股弦。那么其間隔中葛的長，就是弦。7周乘圍的周長，就是合并各個勾股形的勾作為一個勾；樹長作為股，卻比勾短，所以如果術文說樹長叫作股，就把勾、股說顛倒了。由勾與股求弦，如同沒有圍的情形，弦自乘得到的面積也出自上面第一圖。那么勾方之面積與股方之面積合成弦方之面積，是很明顯的。這樣，勾、股二方之面積倒互于弦方之面積之中罷了，它們在弦方之面積中互相為表里，位于里面的就成為正方形的面積，那位于表面的就成為折矩形的面積。二組位于表、里的面積的形狀不同而數值卻相等。 又按：此圖中勾方之面積的折矩是青色的，卷曲在白色的股方之面積的表面，則它的面積以股弦差作為寬，以股弦和作為長，而股方之面積呈正方形，居于它的里面。股方之面積的折矩是青色的，卷曲在白色的勾方之面積的表面，則它的面積以勾弦差作為寬，以勾弦和作為長，而勾方之面積呈正方形，居于它的里面。因此，勾弦或股弦的差與和，就是用其中之一除短、長互相乘。
今有池方一丈，葭生其中央〔1〕，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長各幾何〔2〕？
荅曰：
水深一丈二尺，
葭長一丈三尺。
術曰：半池方自乘，此以池方半之，得五尺為句，水深為股，葭長為弦。以句、弦見股〔3〕，故令句自乘，先見矩冪也〔4〕。以出水一尺自乘，減之〔5〕，出水者，股弦差。減此差冪于矩冪則除之〔6〕。余，倍出水除之，即得水深〔7〕。差為矩冪之廣〔8〕，水深是股。令此冪得出水一尺為長，故為矩而得葭長也〔9〕。加出水數，得葭長〔10〕。臣淳風等謹按：此葭本出水一尺，既見水深，故加出水尺數而得葭長也。
今有立木，系索其末，委地三尺〔11〕。引索卻行，去本八尺而索盡。問：索長幾何？
荅曰：一丈二尺六分尺之一。
術曰：以去本自乘，此以去本八尺為句，所求索者，弦也〔12〕。引而索盡、開門去閫者，句及股弦差同一術〔13〕。去本自乘者，先張矩冪〔14〕。令如委數而一。委地者，股弦差也。以除矩冪，即是股弦并也〔15〕。所得，加委地數而半之，即索長〔16〕。子不可半者，倍其母。加差者并〔17〕，則兩長，故又半之。其減差者并，而半之得木長也。
今有垣高一丈。倚木于垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問：木長幾何？
荅曰：五丈五寸。
術曰：以垣高一十尺自乘，如卻行尺數而一。所得，以加卻行尺數而半之，即木長數〔18〕。此以垣高一丈為句，所求倚木者為弦，引卻行一尺為股弦差〔19〕。為術之意與系索問同也。
今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺〔20〕。問：徑幾何？
荅曰：材徑二尺六寸。
術曰：半鋸道自乘，此術以鋸道一尺為句，材徑為弦，鋸深一寸為股弦差之一半，鋸道長是半也〔21〕。 臣淳風等謹按：下鋸深得一寸為半股弦差，注云為股弦差者，鋸道也〔22〕。如深寸而一，以深寸增之，即材徑〔23〕。亦以半增之，如上術，本當半之，今此皆同半差，不復半也〔24〕。
今有開門去閫一尺〔25〕，不合二寸。問：門廣幾何？
荅曰：一丈一寸。
術曰：以去閫一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半，即得門廣〔26〕。此去閫一尺為句，半門廣為弦，不合二寸以半之，得一寸為股弦差，求弦〔27〕。故當半之。今次以兩弦為廣數，故不復半之也。
【注釋】
〔1〕葭（jiā）：初生的蘆葦。《說文解字》：“葭，葦之未秀者。”
〔2〕20世紀，許多中學數學課外讀物中有所謂印度蓮花問題，實際上是此“引葭赴岸”問的改寫，只不過將蘆葦換成蓮花，卻晚出1 000多年。數典不能忘祖，中國的課外讀物，宜以此題為例。見圖9-5（1）。以下五問，劉徽都歸結為已知勾和股弦差求股、弦的問題，我們歸為一組。
圖9-5 引葭赴岸
［（1）采自楊輝本 （2）（3）采自《古代世界數學泰斗劉徽》］
〔3〕以句、弦見股：此句意謂在弦方中通過勾、弦的變換表示出股。見，顯現。
〔4〕劉徽認為池方之半、水深、葭長構成一個勾股形，我們記其勾即池方之半為a，股即水深為b，弦即葭長為c，如圖9-5（2）。要以勾、弦表示出股，所以先將a2表示成矩冪a2=c2-b2，如圖9-5（3）。這實際上是已知勾與股弦差求股、弦的問題。
〔5〕出水就是c-b，《九章算術》的術文表示a2-（c-b）2=2b（c-b）。
〔6〕減此差冪于矩冪則除之：從勾的折矩冪減去這個差的冪才能除。注釋〔5〕是由以下變換得到的。即
a2-（c-b）2=（c2-b2）-（c-b）2=（c+b）（c-b）-（c-b）2
=（c-b）［（c+b）-（c-b）］=2b（c-b）。
這樣才能作除法。
〔7〕因此水深為
〔8〕差為矩冪之廣：股弦差是勾的折矩冪的廣。
〔9〕令此冪得出水一尺為長，故為矩而得葭長也：使這個冪得到露出水面的1尺，作為長，所以將它變成折矩，就得到蘆葦的長。此冪，從上下文看系指勾矩冪，而不是股弦差冪與勾自乘冪之差。將勾矩冪的長即股弦和增加股弦差，則此冪變成長為兩弦、寬為股弦差的矩形，再變成矩冪，就得到弦，即葭長，見圖9-6。劉徽注是說，勾矩之冪a2加上面積（c-b）2，總面積為
a2+（c-b）2=（c2-b2）+（c-b）2=（c+b）（c-b）+（c-b）2
=（c-b）［（c+b）+（c-b）］=2c（c-b）。
圖9-6 勾與股弦差求股弦
（采自譯注本《九章算術》）
因而
〔10〕《九章算術》的術文實際上是
c=b+（c-b）。
〔11〕委（wěi）地：拋在地上。委，拋棄。
〔12〕劉徽注認為，《九章算術》的解法是將去本、立木、索長組成一個勾股形，分別為勾股形的勾、股、弦。如圖9-7（1）。
圖9-7 系索
（采自譯注本《九章算術》）
〔13〕“引而索盡”三句：牽引著繩索到其盡頭、開門離開門檻，都是已知勾及股弦差的問題，用同一種術解決。
〔14〕與注釋〔4〕一樣，先將a2表示成矩冪a2=c2-b2，如圖9-7（2）。
〔15〕此謂
即（9-2-4）式。
〔16〕由于（c+b）+（c-b）=2c，故
與（9-3-2）等價。
〔17〕加差者并：與下文“其減差者并”中兩“者”字，訓“于”，“者”、“諸”互文，“諸”、“于”亦互文，見裴學海《古書虛字集釋》卷九。
〔18〕設木長為c，垣高為a，卻行尺數為c-b，則木長為
即（9-3-2）式。
〔19〕劉徽注認為垣高、木長分別是勾股形的勾和弦，則卻行就是股弦差。如圖9-8。
圖9-8 倚木于垣
（采自譯注本《九章算術》）
〔20〕方田章弧田術劉徽注將其稱為勾股鋸圓材，如圖9-9（1）。
圖9-9 勾股鋸圓材
［（1）采自楊輝本 （2）采自譯注本《九章算術》］
〔21〕如圖9-9（2），記圓心為O，鋸道深為DE。劉徽認為鋸道BC與圓材直徑AB分別是勾股形ABC的勾與弦，分別記為a，c。考慮勾股形OBE，由于，故。于是鋸道深。既然考慮鋸道深的一半，那么其鋸道也只考慮其一半即。是：訓“則”。
〔22〕戴震、李潢、錢寶琮等都認為李淳風注文字有錯誤。因不知原意所在，無可校改，今不譯。
〔23〕《九章算術》實際上應用了公式
它可以化成（9-3-2）式。
〔24〕此謂本來如同上面諸術那樣，此術求弦的最后一步應該“半之”，可是這里勾a，股弦差c-b都取其一半了，所以不必再“半之”。“不”字前，初版依匯校本衍“故”字，今依《新校》本校刪。
〔25〕開門去閫（kǔn）：“門”有兩扉。《玉篇·戶部》：“一扉曰戶，兩扉曰門。”閫，門橛，門限，門檻。“開門去閫”形如圖9-10（1）。
圖9-10 開門去閫
［（1）采自楊輝本 （2）采自譯注本《九章算術》］
〔26〕記去閫為a，不合為c-b，《九章算術》實際上使用公式（9-3-2）。
〔27〕劉徽注認為去閫、開門之后的門廣之半是勾股形的勾與弦，不合之半為股弦差c-b。這是已知勾與股弦差求弦。
【譯文】
假設有一水池，1丈見方，一株蘆葦生長在它的中央，露出水面1尺。把蘆葦扯向岸邊，頂端恰好與岸相齊。問：水深、蘆葦的長各是多少？
答：
水深是1丈2尺，
蘆葦長是1丈3尺。
術：將水池邊長的自乘，這里取水池邊長的，得到5尺，作為勾，水深作為股，蘆葦的長作為弦。以勾、弦展現出股，所以使勾自乘，先顯現勾的折矩的面積。以露出水面的1尺自乘，減之，蘆葦露出水面的長度就是股弦差。從勾的折矩的面積減去這個差的面積才能除。其余數，以露出水面的長度的2倍除之，就得到水深。股弦差是勾的折矩的面積的寬，水深就是股。使這個面積得到露出水面的1尺，作為長，所以將它變成折矩，就得到蘆葦的長。加蘆葦露出水面的數，就得到蘆葦的長。臣淳風等按：這里蘆葦本來露出水面1尺，既然已經顯現出水深，所以加露出水面的尺數而得到蘆葦的長度。
假設有一根豎立的木柱，在它的頂端系一條繩索，那么在地上堆積了3尺長。牽引著繩索向后倒退，到距離木柱根部8尺時恰好是繩索的盡頭。問：繩索的長是多少？
答：1丈尺。
術：以到木柱根部的距離自乘，這里以到木柱根部的距離8尺作為勾，所求繩索的長，就是弦。牽引著繩索到其盡頭、開門離開門檻，都是已知勾與股弦差的問題，用同一種術解決。以到木柱根部的距離自乘，是先展顯勾的折矩的面積。以地上堆積的繩索的長除之。在地上堆積的長，就是股弦差。以除勾的折矩的面積，就是股弦和。所得的結果，加堆積在地上的長，除以2，就是繩索的長。如果分子是不可以除以2的，就將分母加倍。在股弦和上加股弦差，則是繩索長的2倍，所以又除以2。在股弦和上減股弦差，也除以2，便得到木柱的長。
假設有一堵垣，高1丈。一根木柱倚在垣上，上端與垣頂相齊。拖著木向后倒退1尺，這根木柱就全部落在地上。問：木柱的長是多少？
答：5丈5寸。
術：以垣高10尺自乘，除以向后倒退的尺數。以所得到的結果加向后倒退的尺數，除以2，就是木柱的長。這里以垣高1丈作為勾，所求的倚在垣上的木柱作為弦，以拖著向后倒退1尺作為股弦差。造術的意圖與在木柱頂端系繩索的問題相同。
假設有一圓形木材埋在墻壁中，不知道它的大小。用鋸鋸之，如果深達到1寸，則鋸道長是1尺。問：木材的直徑是多少？
答：木材的直徑是2尺6寸。
術：鋸道長的自乘，此術中以鋸道長1尺作為勾，木材的直徑作為弦，鋸道深1寸是股弦差的，鋸道長也應取其。除以鋸道深1寸，加上鋸道深1寸，就是木材的直徑。也以股弦差的加之。如同上面諸術，本來應當取其，現在這里所有的因子都取了，所以就不再取其1。
假設打開兩扇門，距門檻1尺，沒有合上的寬度是2寸。問：門的寬是多少？
答：1丈1寸。
術：以到門檻的距離1尺自乘，其所得除以沒有合上的寬度2寸的。其所得加沒有合上的寬度2寸的，就得到門的寬。這里以到門檻的距離1尺作為勾，門寬的作為弦，取沒有合上的寬度2寸的，得到1寸作為股弦差，以求弦。本來應當取其。現在以兩弦作為門寬的數，所以不再取其。
今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問：戶高、廣各幾何〔1〕？
荅曰：
廣二尺八寸，
高九尺六寸。
術曰：令一丈自乘為實。半相多，令自乘，倍之，減實，半其余。以開方除之。所得，減相多之半，即戶廣；加相多之半，即戶高〔2〕。令戶廣為句，高為股，兩隅相去一丈為弦，高多于廣六尺八寸為句股差〔3〕。按圖為位，弦冪適滿萬寸。倍之，減句股差冪，開方除之。其所得即高廣并數〔4〕。以差減并而半之，即戶廣；加相多之數，即戶高也〔5〕。今此術先求其半〔6〕。一丈自乘為朱冪四、黃冪一。半差自乘，又倍之，為黃冪四分之二〔7〕。減實，半其余，有朱冪二、黃冪四分之一〔8〕。其于大方者四分之一〔9〕。故開方除之，得高廣并數半〔10〕。減差半，得廣〔11〕；加，得戶高〔12〕。 又按：此圖冪：句股相并冪而加其差冪，亦減弦冪，為積〔13〕。蓋先見其弦，然后知其句與股。今適等，自乘，亦各為方，合為弦冪〔14〕。令半相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合為弦冪〔15〕。而差數無者，此各自乘之，而與相乘數，各為門實〔16〕。及股長句短，同原而分流焉〔17〕。假令句、股各五，弦冪五十，開方除之，得七尺，有余一，不盡〔18〕。假令弦十，其冪有百，半之為句、股二冪，各得五十〔19〕，當亦不可開。故曰：圓三、徑一，方五、斜七，雖不正得盡理，亦可言相近耳〔20〕。 其句股合而自相乘之冪者，令弦自乘，倍之，為兩弦冪，以減之〔21〕。其余，開方除之，為句股差〔22〕。加于合而半，為股〔23〕；減差于合而半之，為句〔24〕。句、股、弦即高、廣、衺。其出此圖也，其倍弦為袤〔25〕。令矩句即為冪，得廣即句股差〔26〕。其矩句之冪，倍句為從法，開之亦句股差〔27〕。以句股差冪減弦冪，半其余，差為從法，開方除之，即句也〔28〕。
【注釋】
〔1〕《九章算術》戶高多于廣問實際上應用了已知弦與勾股差求勾、股的公式。如圖9-11（1）。
圖9-11 戶高多于廣
［（1）采自楊輝本 （2）采自《古代世界數學泰斗劉徽》］
〔2〕記兩隅相去為c，相多為b-a，則《九章算術》實際上使用了公式
便求出門廣和高
〔3〕劉徽注認為戶廣、戶高、兩隅相去形成一個勾股形，其勾、股、弦分別記為a，b，c，則高多于廣就是勾股差b-a。
〔4〕如圖9-12（1），劉徽注作以弦c為邊長的正方形，弦冪c2。將其分解為4個以a，b為勾、股的勾股形，稱為朱冪，及一個以勾股差b-a為邊長的小正方形，稱為黃方。顯然
圖9-12 由勾股差與弦求勾股的推導
［（1）采自譯注本《九章算本》 （2）采自《古代世界數學泰斗劉徽》］
取2個弦冪，其面積為2c2。將一個弦冪的黃方除去，而將4個剩余的朱冪拼補到另一個弦冪上，則成為一個以勾股并a+b為邊長的大正方形，如圖9-12（2）所示。其面積為
（a+b）2=2c2-（b-a）2
于是
〔5〕此謂
這是對《九章算術》所使用的公式的改進。趙爽也有同樣的公式，可見此亦非劉徽所首創，而是他“采其所見”者，寫入自己的注。（943）（9-4-4）后來發展為勾股數組的一個通解公式：設c:（b-a）=p:q，則a:b::p可以構造出任何一個勾股形。南宋秦九韶借助它構造了《數書九章》（1247）“遙度圓城”問的10次方程。見拙文《學習〈數書九章〉札記》（《郭書春數學史自選集》下冊）。
〔6〕以下是劉徽記載的對《九章算術》所使用的公式的證明，當然也是采其所見者。
〔9〕此謂2個朱冪、個黃冪恰好是以（a+b）為邊長的正方形的，即
〔10〕此謂對上式作開方除法，得
〔13〕“句股相并冪而加其差冪”三句：這是一個勾股恒等式
（a+b）2+（b-a）2-c2=c2。
顯然，它是由（a+b）2=2c2-（b-a）2變換而來。
〔14〕此謂：如果b=a，則c2=2a2。
〔15〕劉徽在這里提出又一勾股恒等式：
〔16〕“差數無者”四句：此謂當b-a=0時，a2=b2=ab。
〔17〕原：初版作“源”，今改。見本章勾股術注釋〔6〕。
〔18〕此以a=b=5為例，此時c2=50，，得7，而余1開方不盡。這相當于接近認識到，在勾股形中，若a=b，則a，b，c不能同時為有理數，正方形的對角線與邊長沒有公度。
〔19〕若c=10，則c2=100，。
〔20〕劉徽將這種情形與圓3徑1相類比，指出圓3徑1，方5斜7，雖不準確，但在近似計算中是可以使用的。
〔21〕劉徽進而討論由勾股并a+b與弦c求勾、股的問題。劉徽首先提出
（b-a）2=2c2-（b+a）2。（9-6）
如圖9-13，將圖9-12（2）的以a+b為邊長的大正方形逆時針旋轉45°，使其中的弦冪正置，在它的一側拼補上一個如圖9-12（1）的弦冪，則連接成一個長方形，即二弦冪，其面積為2c2。勾股并冪與二弦冪的公共部分不動，將勾股并冪中的朱冪Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別移到二弦冪中的朱冪Ⅰ′，Ⅱ′，Ⅲ′處，則只有一個黃方（b-a）2未被填滿。就是說，勾股并冪（b+a）2與二弦冪2c2之差為（b-a）2，即上式成立。
圖9-13 由勾股和與弦求勾股的推導
（采自譯注本《九章算術》）
〔22〕其余，開方除之，為句股差：此謂
〔23〕加于合而半，為股：此謂
〔24〕減差于合而半之，為句：此謂不難看出已知勾股并及弦求勾股的公式（9-7-1）（9-7-2）與已知勾股差及弦求勾股的公式（9-4-3）（9-4-4）的對稱性。
〔25〕其出此圖也，其倍弦為袤：如果畫出這個圖的話，它以弦的2倍作為長。劉徽是說圖9-13中的長方形以2c為長。
〔26〕令矩句即為冪，得廣即句股差：將矩勾作為冪，求得它的廣就是勾股差。劉徽在此給出了一個勾股恒等式
矩句，是股冪減以勾冪所余之矩，即b2-a2，如圖9-14（1），它不同于劉徽注的“句矩”，后者與趙爽之“矩句”同義，均指c2-b2，如圖9-4（1）。
圖9-14 矩勾與求股弦差的二次方程
（采自譯注本《九章算術》）
〔27〕“其矩句之冪”三句：劉徽在此提出了以b-a為其根的開方式，即以b-a為未知數的二次方程
（b-a）2+2a（b-a）=b2-a2。（9-8）
如圖9-14（2）所示。矩勾b2-a2可以分解成黃方（b-a）2及以b-a為廣以a為長的兩個長方形，后者的面積共為2a（b-a）。
〔28〕劉徽又提出由勾股差b-a求勾a的開方式，即以a為未知數的二次方程
如圖9-15所示。弦冪c2除去黃方（b-a）2，取其，余2個朱冪Ⅰ，Ⅱ。勾方a2與（b-a）a之和為面積為ab的長方形，它亦含有2個朱冪Ⅰ，Ⅱ′。
圖9-15 由勾股差與弦求勾的二次方程
（采自譯注本《九章算術》）
因此與a2+（b-a）a的面積相等。
【譯文】
假設有一門戶，高比寬多6尺8寸，兩對角相距恰好1丈。問：此門戶的高、寬各是多少？
答：
門戶的寬是2尺8寸，
門戶的高是9尺6寸。
術：使1丈自乘，作為實。取高多于寬的，將它自乘，加倍，去減實，取其余數的。對之作開方除法。所得減去高多于寬的，就是門戶的寬；加上高多于寬的，就是門戶的高。將門戶的寬作為勾，高作為股，兩對角的距離1丈作為弦，那么高多于寬6尺8寸就成為勾股差。按照圖形考察它們所處的地位，弦方之面積恰恰是10 000寸2。將它加倍，減去勾股差為方的面積，對其余數作開方除法。那么所得到的就是門戶的高與寬之和。以勾股差減高與寬之和，而取其，就是門戶的寬；以勾股差加高與寬之和，而取其，就是門戶的高。現在此術是先求其。1丈自乘為4個紅色的面積與1個黃色的面積。勾股差的自乘，又加倍，就是黃色的面積的。以它去減實，取其余數的，就有2個紅色的面積與個黃色的面積。它們在以高與寬之和為邊長的大正方形中占據。所以對之作開方除法，就得到的高與寬之和。的高與寬之和減去的高與寬之差，就得到門戶的寬；的高與寬之和加上的高與寬之差，就得到門戶的高。 又按：此圖形中的面積：勾股和為方的面積加勾股差為方的面積，又減去弦方的面積，為弦方的面積。原來這里先顯現出它的弦，然后知道與之對應的勾與股。如果勾與股恰好相等，使它們自乘，各自也成為正方形，相加就合成為弦方的面積。使勾股差的自乘，加倍，又使勾股和的自乘，加倍，也合成為弦方的面積。如果勾與股沒有差，此時它們各自自乘，或者兩者相乘，都成為門的面積。這與股長而勾短的情形，是同源而分流。假設勾、股都是5，弦方的面積就是50，對之作開方除法，得7尺，還有余數1，開不盡。假設弦是10，其方的面積是100，取其，就成為勾、股二者方的面積，分別是50，也應當是不可開的。所以說：周3徑1，方5斜7，雖然沒有正好窮盡其數理，也可以說是相近的。 如果是勾股和而自乘之面積的情形，那么使弦自乘，加倍，就成為2個弦方的面積，以勾股和自乘之面積減之。對其余數作開方除法，就是勾股差。將它加于勾股和，取其，就是股；以它減勾股和，取其，就是勾。勾、股、弦就是門戶的高、寬、斜。如果畫出這個圖的話，它以弦的2倍作為長。將矩勾作為面積，求得它的寬就是勾股差。如果是矩勾之面積，將勾加倍作為一次項系數，對其開方，也得到勾股差。以勾股差為方的面積減弦方的面積，取其余數的，以勾股差作為一次項系數，對其作開方除法，就是勾。
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問：折者高幾何〔1〕？
荅曰：四尺二十分尺之一十一。
術曰：以去本自乘，此去本三尺為句，折之余高為股〔2〕，以先令句自乘之冪〔3〕。令如高而一〔4〕，凡為高一丈為股弦并之〔5〕，以除此冪得差。所得，以減竹高而半余，即折者之高也〔6〕。此術與系索之類更相返覆也〔7〕。亦可如上術，令高自乘為股弦并冪，去本自乘為矩冪，減之，余為實。倍高為法，則得折之高數也〔8〕。
【注釋】
〔1〕折：李籍云：“斷也。”竹高折地如圖9-16（1）所示。1989年高考語文試卷有標點此問的題目。
圖9-16 由勾與股弦和求股
［（1）采自楊輝本（2）采自譯注本《九章算術》（3）采自《九章算術》解讀］
〔2〕劉徽注認為去本、折者之高與折斷部分構成一個勾股形，它們分別是勾a、股b與弦c。如圖9-16（2）。
〔3〕以先令句自乘之冪：所以先得到勾的自乘之冪。以，訓“故”，申事之辭。
〔4〕《九章算術》此處應用了：
〔5〕凡為高一丈為股弦并之：總的高1丈作為股弦并，以它除勾冪，得到股弦差。凡為，訓“共”。之，語氣詞。劉徽將此問歸結為已知勾與股弦并求股的問題。
〔6〕《九章算術》實際上應用了公式
〔7〕此謂上式與系索問所用公式的差別僅僅在于將c-b換成c+b，所以說“相返覆”。
〔8〕劉徽將（9-10-1）式修正為
其出入相補的方式如圖9-16（3）所示：作以c+b為邊長的正方形。其中Ⅰ為b2，除去a2=c2-b2，將Ⅰ移到Ⅰ′處，則其面積顯然是2b（c+b），求出b即可。
【譯文】
假設有一棵竹，高1丈，末端折斷，抵到地面處距竹根3尺。問：折斷后的高是多少？
答：尺。
術：以抵到地面處到竹根的距離自乘，這里以抵到地面處距竹根3尺作為勾，折斷之后余下的高作為股，所以先得到勾的自乘之面積。除以高，總的高1丈作為股弦并，以它除勾方的面積，得到股弦差。以所得到的數減竹高，而取其余數的，就是折斷之后的高。此術與木柱頂端系繩索之類互為反覆。亦可像上術那樣，將高自乘，作為股弦和為方之面積，抵到地面處到竹根的距離自乘作為矩的面積，兩者相減，余數作為實。將高加倍作為法，實除以法，就得到折斷之后高的數值。
今有二人同所立。甲行率七，乙行率三〔1〕。乙東行，甲南行十步而邪東北與乙會。問：甲、乙行各幾何？
荅曰：
乙東行一十步半，
甲邪行一十四步半及之。
術曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減于七自乘，余為南行率。以三乘七為乙東行率〔2〕。此以南行為句，東行為股，邪行為弦〔3〕。并句弦率七。欲引者〔4〕，當以股率自乘為冪，如并而一，所得為句弦差率〔5〕。加并，之半為弦率〔6〕，以差率減，余為句率〔7〕。如是或有分，當通而約之乃定〔8〕。
術以同使無分母，故令句弦并自乘為朱、黃相連之方〔9〕。股自乘為青冪之矩，以句弦并為袤，差為廣〔10〕。今有相引之直，加損同上〔11〕。其圖大體，以兩弦為袤，句弦并為廣〔12〕。引橫斷其半為弦率〔13〕，列用率七自乘者，句弦并之率〔14〕，故弦減之，余為句率〔15〕。同立處是中停也〔16〕，皆句弦并為率，故亦以句率同其袤也〔17〕。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙東行率乘之，各自為實。實如南行率而一，各得行數〔18〕。南行十步者，所有見句求見弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。
【注釋】
〔1〕此謂：設甲行率為m，乙行率為n，則m:n=7:3。
〔2〕設南行為a，東行為b，邪行為c，《九章算術》給出了：
其中南行率。
〔3〕劉徽認為南行、東行、邪行構成一個勾股形，記勾為a，股為b，弦為c，如圖9-17（1）。現代數論證明，若（c+a）:b=m:n，并且m，n互素，公式（9-11）給出了勾股形的全部可能的情形，被稱為勾股數組的通解公式。勾股數組又稱為整數勾股形。此問中的m，n分別為7，3。下“二人出邑”問再一次使用（9-11），其中的m，n分別為5，3，都是互素的兩奇數，可見《九章算術》的作者大約知道這一條件。上述通解公式也可以寫成：
圖9-17 勾股數組通解公式的推導
（采自譯注本《九章算術》）
早在古希臘，數學家們就探討勾股數組的通解公式，但所提出的公式實際上都只給出了一部分解。長期以來，人們認為公元3世紀的希臘數學家丟番圖第一次給出了勾股數組的通解公式，但是，他的公式不僅需要進行一個變換，而且比《九章算術》使用的公式起碼晚四五百年。《九章算術》在世界數學史上第一次提出了完整的勾股數組通解公式。
〔4〕欲引者：如果想要把它引申的話。引，引申。
〔5〕劉徽在此求出勾弦差c-a之率。
〔6〕劉徽在此求出弦之率，即
〔7〕劉徽在此求出勾之率，即
〔8〕已知股率是n，如此勾率、股率、弦率中有分數，通分，就得到公式（9-11）或（9-12）中的率。
〔9〕以同使無分母，故令句弦并自乘為朱、黃相連之方：此謂以同（即勾弦并率m）消去各個率的分母，所以使勾弦和自乘作為朱方、黃方相連的正方形。由于以勾弦并率m消去分母，因此其冪圖以勾弦并c+a作為廣，使（c+a）2為朱、黃相連之方ABCD，如圖9-17（2）。其中AGHI是朱方，即勾方a2；HJCK是黃方，即弦方c2。自此起，是勾、股、弦三率的幾何推導方法。
〔10〕截取AMPL，也是黃方，即弦方c2，而IHGMPL是青冪之矩，即b2=c2-a2。它以勾弦并c+a為長，以勾弦差c-a為廣。
〔11〕今有相引之直，加損同上：如果將青冪之矩引申成長方形，增加、減損之后，它們的廣、長就如上述。這個長方形就是BEFC，仍然以勾弦并c+a為長，以勾弦差c-a為廣。
〔12〕“其圖大體”三句：此謂整個圖形以兩弦2c為長，以勾弦并c+a為廣。大體，義理，本質，要點，關鍵。《史記·平原君虞卿列傳》：“（平原君）未睹大體。”
〔13〕引橫斷其半為弦率：在圖形的一半處引一條橫線切斷它，就成為弦率。此謂圖9-17（2）中，AEFD的一半即c（c+a）是弦率。橫，橫線，此指中間的橫線。
〔14〕列用率七自乘者，句弦之并率：此謂甲行率7自乘就是勾弦并率。因此勾弦并率就是（c+a）2。列用率，列出來所用的率，指甲行率七。
〔15〕弦率減之，余為句率：此謂勾率為（c+a）2-c（c+a）=a（c+a），弦率為c（c+a）。
〔16〕中停：中間平分。停，均勻，平均。《水經注·江水》：“自非停午夜分，不見曦月。”但此例句在劉徽之后矣。
〔17〕皆句弦并為率，故亦以句率同其袤也：它們都以勾弦和建立率，所以也使勾率的長與之相同。由（c+a）:b=m:n，得出
在此問中，a:b:c=20:21:29。按：此段從圖形上解釋。因同立處是中停，都用勾弦并化成率，所以勾率亦必同其袤，化成以勾為廣，以勾弦并為袤的面積。根據劉徽“每舉一隅”的原則，股率也要表示成以股為廣，以勾弦并為袤的面積，是不言而喻的。亦即股率為b（c+a）。
〔18〕已知南行10步，即a=10步，利用今有術求出甲邪行和乙東行的步數：
【譯文】
假設有二人站在同一個地方。甲走的率是7，乙走的率是3。乙向東走，甲向南走10步，然后斜著向東北走，恰好與乙相會。問：甲、乙各走多少步？
答：
乙向東走步，
甲斜著走步與乙會合。
術：令7自乘，3也自乘，兩者相加，除以2，作為甲斜著走的率。從7自乘中減去甲斜著走的率，其余數作為甲向南走的率。以3乘7作為乙向東走的率。此處以向南走的距離作為勾，向東走的距離作為股，斜著走的距離作為弦。那么勾弦和率就是7。如果想要把它引申的話，應當以股率自乘作為面積，除以勾弦和，所得作為勾弦差率。將它加勾弦和，除以2，作為弦率；以勾弦差率減弦率，其余數作為勾率。這樣做也許有分數，應當將它們通分、約簡，才能確定。 此術以同消去分母，所以使勾弦和自乘作為朱方、黃方相連的正方形。將股自乘化為青色面積之折矩形，它以勾弦和作為長，勾弦差作為寬。如果將它們引申成長方形，增加、減損之后，它們的寬、長就如上述。其圖形的關鍵就是以兩弦作為長，以勾弦和作為寬。在圖形的一半處引一條橫線切斷它，就成為弦率。列出來所用的率7自乘者，是因為它是勾弦和率，所以以弦率減之，余數就作為勾率。甲、乙所站的那同一個地方是中間平分的位置，它們都以勾弦和建立率，所以也使勾率的長與之相同。布置甲向南走的10步，以甲斜著走的率乘之，在旁邊布置10步，以乙向東走的率乘之，各自作為實。實除以甲向南走的率，分別得到甲斜著走的及乙向東走的步數。甲向南走的10步，是已有現成的勾，要求顯現出它對應的弦、股，所以分別以弦率、股率乘之，除以勾率。
今有句五步，股十二步。問：句中容方幾何〔1〕？
荅曰：方三步一十七分步之九。
術曰：并句、股為法，句、股相乘為實。實如法而一，得方一步〔2〕。句、股相乘為朱、青、黃冪各二〔3〕。令黃冪袤于隅中，朱、青各以其類，令從其兩徑，共成脩之冪〔4〕：中方黃為廣〔5〕，并句、股為袤，故并句、股為法〔6〕。 冪圖：方在句中，則方之兩廉各自成小句股，而其相與之勢不失本率也〔7〕。句面之小句、股，股面之小句、股各并為中率〔8〕。令股為中率，并句、股為率，據見句五步而今有之，得中方也〔9〕。復令句為中率，以并句、股為率，據見股十二步而今有之，則中方又可知〔10〕。此則雖不效而法，實有法由生矣〔11〕。下容圓率而似今有、衰分言之〔12〕，可以見之也。
【注釋】
〔1〕句中容方：勾股形內切的正方形，其一頂點在弦上，它相對的兩邊分別與勾、股重合，如圖9-18（1）所示。
圖9-18 勾股容方
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔2〕已知勾股形中勾a，股b，《九章算術》提出求其所容正方形的邊長d的公式是
〔3〕勾、股相乘為朱、青、黃冪各二：此謂勾股形所容正方形稱為黃方，余下兩小勾股形，位于勾上的稱為朱冪，位于股上的稱為青冪。作以勾、股為邊長的長方形，其面積為ab。顯然它含有2個朱冪、2個青冪、2個黃冪，如圖9-18（2）。
〔4〕“令黃冪袤于隅中”四句：此謂這些朱、青、黃冪可以重新拼成一個長方形，其面積仍為ab，如圖9-18（3）。兩個黃冪分別位于兩端，朱冪、青冪。根據自己的類別組合，分別形成小長方形，它們的股、勾分別與2黃冪的邊相吻合，共同合成一個長方形冪。兩徑，表示勾與股。趙爽曰：“徑，直。”脩，長。脩之冪，長方形的面積。
〔5〕中方黃為廣：此謂該修冪的廣就是所容正方形即黃方的邊長d。
〔6〕并句、股為袤，故并句、股為法：此謂該修冪的長即勾股和a+b，故以a+b作為法。
〔7〕方之兩廉各自成小句股，而其相與之勢不失本率：這是劉徽提出的一條重要原理，即相似勾股形的對應邊成比例。是為以率解決這類問題的基礎。設勾上小勾股形的三邊為a1，b1，c1，股上小勾股形的三邊為a2，b2，c2，則
a:b:c=a1:b1:c1=a2:b2:c2。（9-14）
〔8〕句面之小句、股，股面之小句、股各并為中率：此謂由于，所以
a=a1+b1為此比例式的中率。由于b1=d，故
同樣，由于，取b=a2+b2為中率，因a2=d，則有
可見，劉徽已完全通曉合比定理。
〔9〕此謂以股b為中率，則。
〔10〕此謂以勾a為中率，亦有。
〔11〕此則雖不效而法，實有法由生矣：此謂此基于率的方法雖然沒有效法基于出入相補的方法，實與法卻由此產生出來。而，訓“其”。見裴學海《古書虛字集釋》卷七。而法，指此注起首基于出入相補原理的方法。有，訓“與”。見裴學海《古書虛字集釋》卷二。實有法，實與法。
〔12〕率：方法。 似：古通“以”。
【譯文】
假設一勾股形的勾是5步，股是12步。問：如果勾股形中容一正方形，它的邊長是多少？
答：邊長是步。
術：將勾、股相加，作為法，勾、股相乘，作為實。實除以法，得到內容正方形邊長的步數。勾、股相乘之面積含有紅色的面積、青色的面積、黃色的面積各2個。使2個黃色的面積分別位于兩端，界定其長，紅色的面積、青色的面積各依據自己的類別組合，使它們的勾、股與2個黃色的面積的邊相吻合，共同組成一個長方形的面積：以勾股形內容的正方形即黃色的面積作為寬，勾、股相加作為長。所以使勾、股相加作為法。 面積的圖形：正方形在勾股形中，那么，正方形的兩邊各自形成小勾股形，而其相與的態勢沒有改變原勾股形的率。勾邊上的小勾、股，股邊上的小勾、股，分別相加，作為中率。令股作為中率，勾、股相加作為率，根據顯現的勾5步而應用今有術，便得到中間正方形的邊長。再令勾作為中率，勾、股相加作為率，根據顯現的股12步而應用今有術，則又可知道中間正方形的邊長。這里顯然沒有效法開頭的方法，實與法卻由此產生出來。下面的勾股容圓的方法而以今有術、衰分術求之，又可以見到這一點。
今有句八步，股一十五步。問：句中容圓徑幾何〔1〕？
荅曰：六步。
術曰：八步為句，十五步為股，為之求弦〔2〕。三位并之為法，以句乘股，倍之為實。實如法得徑一步〔3〕。句、股相乘為圖本體〔4〕，朱、青、黃冪各二〔5〕，倍之，則為各四〔6〕。可用畫于小紙，分裁邪正之會，令顛倒相補，各以類合，成脩冪：圓徑為廣，并勾、股、弦為袤〔7〕。故并勾、股、弦以為法〔8〕。 又以圓大體言之〔9〕，股中青必令立規于橫廣，句、股又邪三徑均，而復連規〔10〕，從橫量度句股，必合而成小方矣〔11〕。又畫中弦以規除會〔12〕，則句、股之面中央小句股弦〔13〕：句之小股、股之小句皆小方之面〔14〕，皆圓徑之半〔15〕。其數故可衰〔16〕。以勾、股、弦為列衰，副并為法。以句乘未并者，各自為實。實如法而一，得句面之小股〔17〕，可知也。以股乘列衰為實，則得股面之小句可知〔18〕。言雖異矣，及其所以成法之實〔19〕，則同歸矣〔20〕。則圓徑又可以表之差、并〔21〕：句弦差減股為圓徑〔22〕；又，弦減句股并，余為圓徑〔23〕；以句弦差乘股弦差而倍之，開方除之，亦圓徑也〔24〕。
【注釋】
〔1〕句中容圓：勾股容圓，也就是勾股形內切一個圓。元數學家李冶（1192—1279）將其稱為勾股容圓。
〔2〕此利用勾股術（9-1-1）求出弦：。
〔3〕此是已知勾股形中勾a，股b，求其所容圓的直徑d的問題，如圖9-19（1）所示。《九章算術》提出的公式是
圖9-19 勾股容圓
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
《九章算術》此問開中國勾股容圓類問題研究之先河。勾股容圓問題在宋元時期有了極大發展，產生了洞淵九容，討論了9種勾股形與圓的相切關系，李冶由此演繹成名著《測圓海鏡》（1248），給出了勾股形與圓的關系的若干命題，就同一個圓與16個勾股形的關系提出了270個問題，并以天元術為主要方法解決了其中大部分問題。
〔4〕此謂將一個勾股形從所容圓的圓心將其分解成1個黃冪、1個朱冪與1個青冪。黃冪是邊長為所容圓的半徑的正方形；朱冪由2個小勾股形組成，其小勾是圓半徑，而小股是勾與圓半徑之差；青冪也由2個小勾股形組成，其小勾是圓半徑，而小股是股與圓半徑之差。取2個原來的勾股形，組成一個廣為a，長為b的長方形，即勾股相乘冪，如圖9-19（2）。
〔5〕作由兩個勾股形構成的長方形，也就是勾股相乘之冪，其面積為ab，它含有朱冪、青冪、黃冪各2個。
〔6〕2個勾股相乘之冪其面積為2ab，含有朱冪、青冪、黃冪各4個。
〔7〕將2個勾股相乘之冪中的朱冪、青冪、黃冪各以類合，構成一個長方形，它的廣是圓直徑d，其長是勾、股、弦之和a+b+c，其面積當然仍然是2ab，如圖9-19（3）。
〔8〕由于（a+b+c）d=2ab，所以要求圓直徑d，便以a+b+c為法，即得到（9-15）。這是劉徽記述的以出入相補原理對《九章算術》公式的證明。
〔9〕又以圓大體言之：又根據圓的義理闡述此術。大體，義理，本質，要點。參見“二人同所立”問注釋。
〔10〕“股中青必令立規于橫廣”三句：股邊上的青冪等元素必須使圓規立于勾的橫線上，并且到勾、股、弦的三個半徑相等的點上，這樣再連成圓。規，圓規，是中國古代畫圓的工具。“立規于……”是說將圓規立于什么位置。“連規”就是畫圓，此處以畫圓的工具規代替圓。劉徽在這里簡要說明如何作出勾股形的內切圓。有的學者認為中國古算沒有幾何作圖的研究，是不妥的。誠然，中國古代可能沒有古希臘那樣的關于作圖的嚴格規定。但是數學研究，尤其是面積、體積、勾股及測望重差問題，都離不開作圖。劉徽注《九章算術》的宗旨是“析理以辭，解體用圖”，可見他是辭、圖并重的。他著有《九章重差圖》一卷，可惜已經失傳。其中有關于作圖的研究是不言而喻的。這里劉徽更明確地說明作圖的要求。
〔11〕從橫量度勾股，必合而成小方矣：縱橫量度勾、股，必定合成小正方形。
〔12〕又畫中弦以規（kuī）除會：又過圓心畫出中弦，以觀察它們施予會通的情形。中弦，過圓心平行于弦而兩端交于勾、股的線段。如圖9-20（1）。規除會，觀察它們施予會通的情形。規，通“窺”。《管子·君臣上》：“大臣假于女之能以規主情。”丁士涵注：“規，古窺字。”除，給予，施予。《詩經·小雅·天保》：“俾爾單厚，何福不除。”毛傳：“‘除’，開也。”鄭弦箋：“皆開出以予之。”
圖9-20 以衰分術求解勾股容圓
（采自譯注本《九章算術》）
〔13〕則句、股之面中央小句股弦：此謂中弦與勾股形的勾、股及垂直于勾、股的半徑分別形成位于勾、股中央的小勾股形。將它們的小勾、股、弦分別記為a1，b1，c1；a2，b2，c2。
〔14〕句之小股、股之小句皆小方之面：此謂勾上的小勾股形的股與股上的小勾股形的勾相等，且都是垂直于勾、股的半徑且等于勾、股構成的小正方形的邊長。
〔15〕此謂。
〔16〕顯然a1:b1:c1=a2:b2:c2=a:b:c。從應用衰分術來看，劉徽必定認識到a1+b1+c1=a，a2+b2+c2=b。劉徽如何認識到這一點，不得而知。我們大體推測如下：如圖9-20（2），以勾上小勾股形OPQ為例，只要證明BP=OP，或BP=c1即可。由于OP∥AB，故∠1=∠3，而∠3=∠2，故∠1=∠2，所以BP=OP。如果這種推測合理，則劉徽必定通曉平行線的內錯角相等，三角形的內切圓的圓心到頂點的連線必平分該角，等腰三角形的兩底角相等等性質。
〔17〕由于a1:b1:c1=a:b:c，且a1+b1+c1=a，由衰分術，
故得到《九章算術》的圓徑公式（9-15）。
〔18〕同樣，考慮股上的小勾股形，由于a2:b2:c2=a:b:c，a2+b2+c2=b，由衰分術得
亦得到《九章算術》的圓徑公式（9-15）。
〔19〕成法之實：形成法與實。之，訓“與”。
〔20〕此謂從不同的途徑，得到法與實，都是相同的。
〔21〕此句意在提示以下以勾、股、弦的差、并表示的三個圓徑公式。則：訓“今”；之：訓“以”；分別見裴學海《古書虛字集釋》卷八、卷九。
〔22〕此謂
d=b-（c-a）。
這個公式是怎么推導出來的，劉徽沒有提示，我們推測如下：如圖9-20（3），記勾股形的勾減去圓半徑剩余的部分為e，股減去圓半徑剩余的部分為f，則，c=e+f，于是
如果這種推測合理，則劉徽使用了線段的出入相補。
〔23〕此謂
d=（b+a）-c。
〔24〕此謂
這實際上是下文“持竿出戶”問由勾弦差、股弦差求勾、股、弦中黃方的邊長。
【譯文】
假設一勾股形的勾是8步，股是15步。問：勾股形中內切一個圓，它的直徑是多少？
答：6步。
術：以8步作為勾，15步作為股，求它們相應的弦。勾、股、弦三者相加，作為法，以勾乘股，加倍，作為實。實除以法，得到直徑的步數。勾與股相乘作為圖形的主體，含有紅色的面積、青色的面積、黃色的面積各2個，加倍，則各為4個。可以把它們畫到小紙片上，從斜線與橫線、豎線交會的地方將其裁開，通過平移、旋轉而出入相補，使各部分按照各自的類型拼合，成為一個長方形的面積：圓的直徑作為寬，勾、股、弦相加作為長。所以以勾、股、弦相加作為法。 又根據圓的義理闡述此術，股邊上的青色的面積等元素必須使圓規立于勾的橫線上，并且到勾、股、弦的三個半徑相等的點上，這樣再連成圓，縱橫量度勾、股，必定合成小正方形。又過圓心畫出中弦，以觀察它們施予會通的情形，那么勾邊、股邊的中部都有小勾股弦：勾上的小股、股上的小勾都是小正方形的邊長，都是圓直徑的一半。所以對它們的數值是可以施行衰分術的。以勾、股、弦作為列衰，在旁邊將它們相加作為法。以勾乘未相加的勾、股、弦，各自作為實。實除以法，得到勾邊上的小股，是不言而喻的。以股乘列衰作為實，則得到股邊上的小勾，是不言而喻的。言辭雖然不同，至于用它們構成法與實，則都有同一個歸宿。而圓的直徑又可以表示成勾、股、弦的和差關系：以勾弦差減股成為圓的直徑；又，以弦減勾股和，其余數為圓的直徑；以勾弦差乘股弦差，而加倍，作開方除法，也成為圓的直徑。
今有邑方二百步〔1〕，各中開門。出東門一十五步有木。問：出南門幾何步而見木？
荅曰：六百六十六步太半步。
術曰：出東門步數為法，以句率為法也。半邑方自乘為實，實如法得一步〔2〕。此以出東門十五步為句率，東門南至隅一百步為股率，南門東至隅一百步為見句步。欲以見句求股，以為出南門數〔3〕。正合“半邑方自乘”者，股率當乘見句，此二者數同也。
今有邑東西七里，南北九里，各中開門。出東門一十五里有木。問：出南門幾何步而見木？
荅曰：三百一十五步。
術曰：東門南至隅步數，以乘南門東至隅步數為實。以木去門步數為法。實如法而一〔4〕。此以東門南至隅四里半為句率，出東門一十五里為股率，南門東至隅三里半為見股。所問出南門即見股之句〔5〕。為術之意，與上同也。
今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？
荅曰：一里。
術曰：令兩出門步數相乘，因而四之，為實。開方除之，即得邑方〔6〕。按：半邑方，令半方自乘，出門除之，即步〔7〕。令二出門相乘，故為半方邑自乘〔8〕，居一隅之積分〔9〕。因而四之，即得四隅之積分〔10〕。故為實〔11〕，開方除，即邑方也。
【注釋】
〔1〕邑：京城，國都。《詩經·殷武》：“商邑翼翼，四方之極。”毛傳：“商邑，京師也。”又指民眾聚居之處，大曰都，小曰邑，亦泛指村落、城鎮。《周禮·地官·里宰》：“里宰掌比其邑之眾寡與其六畜兵器。”
〔2〕如圖9-21，設出東門CB為a，半邑方CA為b，則出南門。
圖9-21 邑方出南門
（采自譯注本《九章算術》）
〔3〕考慮以出東門和東門至東南隅構成的勾股形ABC，及南門至東南隅和南門至木構成的勾股形EAD。顯然這兩個勾股形相似。以出東門BC為勾率a，東門至東南隅AC為股率b。已知南門至東南隅AD為見勾，顯然AD=b。出南門至木DE為股，由勾股相與之勢不失本率的原理，，利用今有術，則。
〔4〕此謂。
〔5〕考慮以出東門和東門至東南隅構成的勾股形ABC，及南門至東南隅和南門至木構成的勾股形BED，如圖9-22。顯然這兩個勾股形相似。以東門至東南隅BC為勾率a，出東門至木AC為股率b。已知南門至東南隅BD為見股。出南門至木DE為勾，由勾股相與之勢不失本率的原理，，利用今有術，。
圖9-22 邑長出南門
（采自譯注本《九章算術》）
〔6〕如圖9-23，記出北門至木BC為a，出西門至見木處DE，則邑方。
圖9-23 邑方出西門
（采自譯注本《九章算術》）
〔7〕“半邑方”四句：此條劉徽注系一般性論述。兩相鄰之門，不拘東、西、南、北，半邑方自乘，以一出門步數除之，得另一出門步數。古文不別白而可知者，可用省文。
〔8〕此謂考慮以出北門至木和北門至西北隅構成的勾股形ABC，及西門至西北隅和西門見木構成的勾股形EAD。顯然這兩個勾股形相似。記出北門至木BC為勾率a，北門至西北隅AC為股率b。已知西門見木ED為見股。西門至西北隅AD為勾，顯然AD=b，由勾股相與之勢不失本率的原理，，利用今有術，b2=a×DE。
〔9〕此謂面積b2=a×DE居于城邑的一角。
〔10〕積分：即分之積。參見卷一經分注釋〔7〕。
〔11〕記城邑的每邊長為x，。那么x2=（2AD）2=4a×DE。
【譯文】
假設有一座正方形的城，每邊長200步，各在城墻的中間開門。出東門15步處有一棵樹。問：出南門多少步才能見到這棵樹？
答：步。
術：以出東門的步數作為法，這是以勾率作為法。取城的邊長的，自乘，作為實，實除以法，得到出南門見到樹的步數。這里以出東門至木15步作為勾率，自東門向南至城角100步作為股率，自南門向東至城角100步作為勾的已知步數。想以已知的勾求相應的股，作為出南門見木的步數。恰恰是“城的邊長的，自乘”，這是因為應當以股率乘已知的勾，而這二者的數值是相同的。
假設有一座城，東西寬7里，南北長9里，各在城墻的中間開門。出東門15里處有一棵樹。問：出南門多少步才能看到這棵樹？
答：315步。
術：以東門向南至城角步數乘自南門向東至城角的步數，作為實。以樹至東門的步數作為法。實除以法即得。這里以自東門向南至城角的里作為勾率，出東門至樹的15里作為股率，南門向東至城角里作為已知的股。所問的出南門見樹的步數就是與已知的股相應的勾。造術的意圖，與上一問相同。
假設有一座正方形的城，不知道其大小，各在城墻的中間開門。出北門30步處有一棵樹，出西門750步恰好能見到這棵樹。問：這座城的每邊長是多少？
答：1里。
術：使兩出門的步數相乘，乘以4，作為實。對之作開方除法，就得到城的邊長。按：取城的邊長的，將邊長的自乘，除以一出門步數，就得到另一出門步數。那么，二出門步數相乘，本來就是邊長的自乘，它是居于城一個角隅的積分。因而乘以4，就得到4個角隅的積分。所以作為實，對之作開方除法，就得到城的邊長。
今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木。出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問：邑方幾何？
荅曰：二百五十步。
術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之，為實〔1〕。此以折而西行為股，自木至邑南一十四步為句〔2〕，以出北門二十步為句率〔3〕，北門至西隅為股率，半廣數〔4〕。故以出北門乘折西行股，以股率乘句之冪〔5〕。然此冪居半，以西行。故又倍之，合東，盡之也〔6〕。并出南、北門步數〔7〕，為從法。開方除之，即邑方〔8〕。此術之冪，東西如邑方，南北自木盡邑南十四步〔9〕。之冪〔10〕：各南、北步為廣，邑方為袤，故連兩廣為從法〔11〕，并以為隅外之冪也〔12〕。
【注釋】
〔1〕如圖9-24（1），記城邑的北門為D，門外之木為B，南門為E，折西處為C，見木處為A，記AC為m，BD為k，則以2×BD×AC=2 km作為實。
圖9-24 邑方出南北門
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔2〕考慮勾股形ABC，以AC為股，BC為勾。
〔3〕考慮勾股形FBD，BD為勾率。
〔4〕北門至西隅為股率，半廣數：此即以DF為股率，股率就是方城邊長的一半。設方城的邊長為x，則。
〔5〕故以出北門乘折西行股，以股率乘句之冪：所以BD×AC=BC×DF。這是因為勾股形ABC與勾股形FBD相似，根據勾股相與之勢不失本率的原理，有，從而得到上式。后一“以”字，訓“為”。《玉篇》：“以，為也。”
〔6〕“此冪居半”五句：此冪占有了的原因是向西走。所以又加倍，加上東邊的冪，才窮盡了整個的冪。此冪居半，以西行，意謂此冪居半的原因是西行。以，因也。見裴學海《古書虛字集釋》卷一。記出南門EC為l，則BC=k+x+l。代入上式，有：。
于是
x2+（k+l）x=2km。（9-17）
這是劉徽以率的思想對《九章算術》解法的推導。
〔7〕此謂BD+CE=k+l。
〔8〕《九章算術》給出（9-17）式。這是現存中國古典數學著作中第一次出現含有一次項的二次方程。
〔9〕“此術之冪”三句：如圖9-24（2），考慮長方形HKML之冪，其東西就是城邑的邊長，南北是自北門外之木至出南門折西行處。自此起是以出入相補原理推導《九章算術》的方程（9-17）。
〔10〕之冪：此冪。之，此，這個，那個。《爾雅》：“之子者，是子也。”
〔11〕連兩廣為從法：連結兩個廣作為從法。
〔12〕劉徽認為長方形HKML之冪由三部分組成：長方形HKGF，其面積為kx；長方形PNML，其面積為lx；城邑FGNP，其面積為x2；總面積為x2+（k+l）x。另一方面考慮長方形IBCA，它被對角線AB平分，即勾股形ABC與ABI面積相等。同樣，勾股形AFL與AFJ面積相等，勾股形FBD與FBH面積也相等。因此，長方形FDCL與FHIJ面積相等，長方形HBCL與BDJI面積也相等。而長方形HKML是長方形HBCL的面積的2倍，亦即為BDJI的面積的2倍。BDJI的面積是km，因此得到《九章算術》的二次方程（9-17）。上述描述中關于長方形FDCL與FHIJ面積相等的論述，在現存劉徽注中沒有，但我們認為這是符合劉徽甚至符合《九章算術》時代的思想的。北宋賈憲《黃帝九章算經細草》中提出：“直田斜解句股二段，其一容直，其一容方，二積相等。”如圖9-25所示，長方形FD與長方形FB面積相等。這是解決勾股重差問題進行出入相補的重要依據。賈憲、楊輝認為是先秦九數中“旁要”的方法之一。
圖9-25 容橫容直原理
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
【譯文】
假設有一座正方形的城，不知道其大小，各在城墻的中間開門。出北門20步處有一棵樹。出南門14步，然后拐彎向西走1 775步，恰好看見這棵樹。問：城的邊長是多少？
答：250步。
術：以出北門到樹的步數乘拐彎向西走的步數，加倍，作為實。這里以拐彎向西走的步數作為股，以自樹至城南14步作為勾，以出北門至木20步作為勾率，自北門向西至西北角作為股率，就是城的邊長的。所以以出北門至樹的步數乘拐彎向西走的步數亦即股，等于股率乘勾之面積。然而這一面積占有了，其原因是向西走。所以又加倍，加上東邊的面積，才窮盡了整個的面積。將出南門和北門的步數相加，作為一次項系數。對之作開方除法，就得到城的邊長。此術中的面積：東西是城的邊長，南北是自北門外的樹到城南14步。這個面積：各以出南門、出北門的步數作為寬，城的邊長作為長，所以連結兩個寬作為一次項系數。兩者相加，作為城外之面積。
今有邑方一十里，各中開門。甲、乙俱從邑中央而出：乙東出；甲南出，出門不知步數，邪向東北，磨邑隅，適與乙會。率：甲行五，乙行三〔1〕。問：甲、乙行各幾何？
荅曰：
甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半，及乙；
乙東行四千三百一十二步半。
術曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，為邪行率。邪行率減于五自乘者，余為南行率。以三乘五為乙東行率〔2〕。求三率之意與上甲乙同。置邑方，半之，以南行率乘之，如東行率而一，即得出南門步數〔3〕。今半方，南門東至隅五里。半邑者，謂為小股也。求以為出南門步數。故置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一〔4〕。以增邑方半，即南行〔5〕。“半邑”者，謂從邑心中停也。置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求東行者，以東行率乘之，各自為實。實如法，南行率，得一步〔6〕。此術與上甲乙同〔7〕。
【注釋】
〔1〕此謂設甲行率為m，乙行率為n，則m:n=5:3。
〔2〕如圖9-26，考慮勾股形ABC與勾股形DBO。設南行OB為a，東行OD為b，邪行BD為c，則（c+a）:b=m:n，《九章算術》再一次應用了勾股數組通解公式（9-11-1）
圖9-26 甲乙出邑
（采自譯注本《九章算術》）
由于m:n=5:3，則
a:b:c=8:15:17。
〔3〕已知半邑方5里，即AC=5里，由于CB:AC=OB:OD=a:b=8:15，利用今有術求出出南門的里數：
〔4〕劉徽將《九章算術》的半邑方稱為股，將南行率、東行率稱為勾率、股率，是以更一般的方式闡述解法。
〔5〕此即甲南行OB=OC+CB=5里+800步=2 300步。
〔6〕由于CB:AB=OB:BD=a:c=8:17，利用今有術求出邪行的里數：
CB:AC=OB:OD=a:b=8:15，利用今有術求出東行的里數：
〔7〕此術與上甲乙同：與上述甲乙同所立問求邪行、東行的方法相同。
【譯文】
假設有一座正方形的城，每邊長10里，各在城墻的中間開門。甲、乙二人都從城的中心出發：乙向東出城門，甲向南出城門，出門走了不知多少步，便斜著向東北走，擦著城墻的東南角，恰好與乙相會。他們的率：甲走的率是5，乙走的率是3。問：甲、乙各走了多少？
答：
甲向南出城門走800步，斜著向東北走步，遇到乙；乙向東出城門走步。
術：將5自乘，3也自乘，相加，取其，作為甲斜著走的率。5自乘減去甲斜著走的率，余數作為甲向南走的率。以3乘5，作為乙向東走的率。求三率的意圖與上面“甲乙站在同一個地方”的問題相同。布置城的邊長，取其，以甲向南走的率乘之，除以乙向東走的率，就得到甲向南出城門走的步數。現在邊長的，是城的南門向東至城東南角，即5里。邊長的，稱之為小股。求與之相應的向南出城門走的步數。所以，布置城的邊長，取其，以甲向南走的率即勾率乘之，除以股率。以它加城邊長的，就是甲向南走的步數。“加城邊長的”，是因為從城的中心出發的。布置甲向南走的步數，如果求弦，就以甲斜著走的率乘之；如果求乙向東走的步數，就以向東走的率乘之，各自作為實。實除以法，即甲向南走的率，分別得到走的步數。此術與上面“甲乙站在同一個地方”的問題相同。
今有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直。從后右表望之，入前右表三寸〔1〕。問：木去人幾何？
荅曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
術曰：令一丈自乘為實。以三寸為法，實如法而一〔2〕。此以入前右表三寸為句率，右兩表相去一丈為股率，左右兩表相去一丈為見句，所問木去人者，見句之股〔3〕。股率當乘見句，此二率俱一丈，故曰“自乘”之〔4〕。以三寸為法。實如法得一寸。
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺〔5〕。問：山高幾何？
荅曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。
術曰：置木高，減人目高七尺，此以木高減人目高七尺，余有八丈八尺，為句率。去人目三里為股率〔6〕。山去木五十三里為見股，以求句〔7〕。加木之高〔8〕，故為山高也。余，以乘五十三里為實。以人去木三里為法。實如法而一。所得，加木高，即山高〔9〕。此術句股之義。
今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸〔10〕。問：井深幾何？
荅曰：五丈七尺五寸。
術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，余，以乘立木五尺為實。以入徑四寸為法。實如法得一寸〔11〕。此以入徑四寸為句率，立木五尺為股率〔12〕。井徑之余四尺六寸為見句。問井深者，見句之股也〔13〕。
【注釋】
〔1〕如圖9-27，設木為E，四表分別為A，B，C，D。A，D，E在同一直線上，連BE，交CD于F。
圖9-27 立四表望遠
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔2〕《九章算術》的解法是。
〔3〕劉徽考慮勾股形BFC，以CF為勾率，BC為股率；又考慮勾股形EBA，已知勾AB，求與之對應的股AE。由于勾股形EBA與勾股形BFC相似，根據勾股相與之勢不失本率的原理，利用今有術，求出股。
〔4〕已知勾AB與股率BC都是1丈，所以股率乘勾為1丈自乘。之：語氣詞。
〔5〕如圖9-28，山高為PF，木高為BE=9丈5尺，人目高為AD=7尺。A，B，P在同一直線上。木距山BQ=53里，求山高PF。
圖9-28 因木望山
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔6〕去人目三里為股率：此謂考慮勾股形ABC，其BC=BE-AD=9丈5尺-7尺=8丈8尺，為勾率，AC=3里為股率。此術注中取為比較基礎的勾股形恰以木高與人目高之差為勾，以木去人目為股。
〔7〕劉徽又考慮勾股形BPQ，它與勾股形ABC相似。已知其股BQ=53里，根據勾股相與之勢不失本率的原理，利用今有術，求與股BQ相應的勾PQ。
〔8〕此即PQ+QF=PF為山高。
〔9〕此是《九章算術》求山高的方法，即
〔10〕如圖9-29，設井徑為CD=5尺，立木為AC=5尺。從A處望水岸E，入徑BC=4寸，求井深DE。
圖9-29 井徑
（采自譯注本《九章算術》）
〔11〕《九章算術》求井深的方法是
〔12〕劉徽考慮勾股形ABC，其BC=4寸，為勾率，AC=5尺為股率。
〔13〕劉徽考慮勾股形EBD，已知勾BD=CD-BC=5尺-4寸=4尺6寸，根據勾股相與之勢不失本率的原理，利用今有術，求與勾BQ相應的股DE。
【譯文】
假設有一棵樹，距離人不知遠近。豎立四根表，相距各1丈，使左兩表與所望的樹三者在同一條直線上。從后右表望樹，入前右表左邊3寸。問：此樹距離人是多少？
答：33丈3尺寸。
術：使1丈自乘，作為實。以3寸作為法。實除以法，得到結果。這里以入前右表左邊3寸作為勾率，右兩表相距1丈作為股率，左右兩表相距1丈作為已知的勾，所問的樹到人的距離，就是與已知的勾相應的股。應當以股率乘已知的勾，這兩個數都是1丈，所以說“自乘”。以3寸作為法。實除以法，得到樹距離人的寸數。
假設有一座山，位于一棵樹的西面，不知道它的高。山距離樹53里，樹高9丈5尺。一個人站立在樹的東面3里處，望樹梢恰好與山峰斜平。人的眼睛高7尺。問：山高是多少？
答：164丈9尺寸。
術：布置樹的高度，減去人眼睛的高7尺，這里是以樹的高減去人眼睛的高7尺，余數有8丈8尺，作為勾率。以樹距離人的眼睛3里作為股率。以山距離樹53里作為已知的股，求與之相應的勾。勾加樹的高度，就是山高。以其余數乘53里，作為實。以人與樹的距離3里作為法。實除以法。所得到的結果加樹高，就是山高。此術有勾股的意義。
假設有一口井，直徑是5尺，不知道它的深度。在井岸上豎立一根5尺的木桿，從木桿的末端望井的水岸，切入井口的直徑4寸。問：井深是多少？
答：5丈7尺5寸。
術：布置井的直徑5尺，以切入井口直徑4寸減之，以余數乘豎立的木桿5尺作為實。以切入井口直徑的4寸作為法。實除以法，得到井深的寸數。此以切入井口直徑的4寸作為勾率，豎立的木桿5尺作為股率。井口直徑的余數4尺6寸作為已知的勾。所問的井深，就是與已知的勾相應的股。
今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出〔1〕。問：戶高、廣、衺各幾何？
荅曰：
廣六尺，
高八尺，
衺一丈。
術曰：從、橫不出相乘，倍，而開方除之〔2〕。所得，加從不出，即戶廣〔3〕；此以戶廣為句，戶高為股，戶衺為弦〔4〕。凡句之在股，或矩于表，或方于里〔5〕。連之者舉表矩而端之〔6〕。又從句方里令為青矩之表，未滿黃方〔7〕。滿此方則兩端之邪重于隅中〔8〕，各以股弦差為廣，句弦差為袤。故兩端差相乘，又倍之，則成黃方之冪〔9〕。開方除之，得黃方之面〔10〕。其外之青知〔11〕，亦以股弦差為廣。故以股弦差加，則為句也〔12〕。加橫不出，即戶高；兩不出加之，得戶衺〔13〕。
【注釋】
〔1〕持竿出戶如圖9-30（1）（2）所示。
圖9-30 持竿出戶及由股弦差勾弦差求勾股弦
［（1）采自楊輝本 （2）（3）采自《古代世界數學泰斗劉徽》］
〔2〕若記戶廣為a，戶高為b，戶邪為c，那么從不出就是c-b，橫不出就是c-a。此即。
〔3〕此即戶廣
〔4〕劉徽認為戶的廣、高、邪形成一個勾股形，戶廣a為勾，戶高b為股，戶邪c為弦。那么從不出就是股弦差c-b，橫不出就是勾弦差c-a。
〔5〕“凡句之在股”三句：凡是勾對于股，有時在股的表面成為折矩，有時在股的里面成為正方形。這里劉徽又一次討論勾方或勾矩與股矩或股方在弦方中的關系，如圖9-4。
〔6〕連之者舉表矩而端之：可以取位于表面的折矩而考察它們的兩端。舉，取，拾取。《詩·小雅·車攻》：“射夫既同，助我舉柴。”《呂氏春秋·樂成》：“財物之遺者，民莫之舉。”高誘注：“舉，取也。”端，動詞，即考慮其折矩的兩端。
〔7〕這是將圖9-4（2）中的勾方a2變為青矩c2-b2，其面積仍為a2。也相當于將圖9-4（2）轉置180°，疊合到圖9-4（1）上，就變成圖9-30（3）。顯然，中間的黃方沒有被填滿。
〔8〕滿此方則兩端之邪（yú）重于隅中：填滿這個黃方的乃是勾矩和股矩的兩端之余在兩隅中重合的部分。邪，音、義均同“余”。《左氏傳·文公元年》：“先王之正時也，履端于始，舉正于中，歸余于終。”《史記·歷書》引作：“先王之正時也，履端于始，舉正于中，歸邪于終。”裴骃《集解》：“邪，音余。”《集解》又云：“韋昭曰：邪，余分也。終，閏月也。”
〔9〕此謂黃方之冪（a+b-c）2=2（c-b）（c-a）。
〔10〕因此黃方的邊長。顯然，它與劉徽在勾股容圓問中提出的一個圓徑公式（9-16）相同。
〔11〕其外之青知：其外之青矩。青，青矩。知，訓“者”，其說見劉徽序“故枝條雖分而同本干知”之注解。
〔12〕此即（9-18-1），這是已知勾弦差、股弦差求勾的公式。
〔13〕此即
這就是已知勾弦差、股弦差求股、弦的公式。
【譯文】
假設有一門戶，不知道它的高和寬，有一根竹竿，不知道它的長短。將竹竿橫著，有4尺出不去，豎起來有2尺出不去，將它斜著恰好能出門。問：門戶的高、寬、斜各是多少？
答：
寬是6尺，
高是8尺，
斜是1丈。
術：將豎著、橫著出不去的長度相乘，加倍，而對之作開方除法。所得加豎著出不去的長度，就是門戶的寬；這里以門戶的寬作為勾，門戶的高作為股，門戶的斜作為弦。凡是勾對于股，有時在股的表面成為折矩，有時在股的里面成為正方形。如果把它們結合起來，可以舉出位于表面的折矩而考察它們的兩端。又把位于里面的勾方變為位于表面的青色的折矩，則未能填滿黃色的正方形。填滿這個黃色的正方形的乃是勾矩在兩端的余數，它們在弦方的兩折中與股的折矩相重合，分別以股弦差作為寬，以勾弦差作為長。所以兩端的差相乘，又加倍，就成為黃色的正方形之冪。對之作開方除法，便得到黃色正方形的邊長。它外面的青色的折矩也以股弦差作為寬。所以加上股弦差，就成為勾。加上橫著出不去的長度，就是門戶的高；加上豎著、橫著兩者出不去的長度，就得到門戶的斜。