婺源 江永 撰
律度
既得各律之率即可得各律之長律冇倍有正有半凡三十六律用橫黍尺百分者紀其尺寸分厘毫絲忽防纎以為后算周徑冪積張本纎以下略之
倍律通長
黃鐘二尺
大呂一尺八寸八分七厘七毫四絲八忽六防二纎太蔟一尺七寸八分一厘七毫九絲七忽四防三纎夾鐘一尺六寸八分一厘七毫九絲二忽八防三纎姑洗一尺五寸八分七厘四毫○一忽○五纎
仲呂一尺四寸九分八厘三毫○七忽○七纎
蕤賔一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五防六纎林鐘一尺三寸三分四厘八毫三絲九忽八防五纎夷則一尺二寸五分九厘九毫二絲一忽○四纎南呂一尺一寸八分九厘二毫○七忽一防一纎無射一尺一寸二分二厘四毫六絲二忽○四纎應鐘一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纎
已上諸倍律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律
正律通長
黃鐘一尺
大呂九寸四分三厘八毫七絲四忽三防一纎
太蔟八寸九分○八毫九絲八忽七防一纎
夾鐘八寸四分○八毫九絲六忽四防一纎
姑洗七寸九分三厘七毫○○五防二纎
仲呂七寸四分九厘一毫五絲三忽五防三纎
蕤賔七寸○七厘一毫○六忽七防八纎
林鐘六寸六分七厘四毫一絲九忽九防二纎
夷則六寸二分九厘九毫六絲【○】五防二纎
南呂五寸九分四厘六毫○三忽五防五纎
無射五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纎
應鐘五寸二分九厘七毫三絲一忽五防四纎
已上諸正律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乗之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律
半律通長
黃鐘五寸
大呂四寸七分一厘九毫三絲七忽一防五纎
太蔟四寸四分五厘四毫四絲九忽三防五纎
夾鐘四寸二分○四毫四絲八忽二防○
姑洗三寸九分六厘八毫五絲二防六纎
仲呂三寸七分四厘五毫七絲六忽七防六纎
蕤賔三寸五分三厘五毫五絲三忽三防九纎
林鐘三寸三分三厘七毫○九忽九防六纎
夷則三寸一分四厘九毫八絲○二防六纎
南呂二寸九分七厘三毫○一忽七防七纎
無射二寸八分○六毫一絲五忽五防一纎
應鐘二寸六分四厘八毫六絲五忽七防七纎
已上諸半律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乗之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律【應鐘半律以后再如法乘除得二寸五分為黃鐘半律之半】
斜黍尺九寸每寸十分紀其尺寸分厘毫絲忽防纎共二十四律【載堉書止載十二正律今詳倍律蕤賔以后半律仲呂以前旋宮皆用之故共二十四律】
倍律長
蕤賔一尺二寸七分二厘七毫九絲二忽二防
林鐘一尺二寸○一厘三毫五絲五忽八防六纎夷則一尺一寸三分三厘九毫二絲八忽九防四纎南呂一尺○七分○二毫八絲六忽四防
無射一尺○一分○二毫一絲五忽八防四纎
應鐘九寸五分三厘五毫一絲六忽七防八纎
已上諸倍律如欲以次求之則以本律為實以五億乘之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律
正律長【附舊律備考】
黃鐘九寸【舊同】
大呂八寸四分九厘四毫八絲六忽八防八纎【舊八寸四分二厘八毫弱】
太蔟八寸○一厘八毫○八忽八防四纎【舊八寸】
夾鐘七寸五分六厘八毫○六忽七防七纎【舊七寸四分九厘二毫弱】
姑洗七寸一分四厘三毫三絲○四防七纎【舊七寸一分一厘一毫強】
仲呂六寸七分四厘二毫三絲八忽一防八纎【舊六寸六分五厘九毫強】
蕤賔六寸三分六厘三毫九絲六忽一防○【舊六寸三分二厘○毫有竒】
林鐘六寸○○六毫七絲七忽九防三纎【舊六寸】
夷則五寸六分六厘九毫六絲四忽四防七纎【舊五寸六分一厘八毫強】
南呂五寸三分五厘一毫四絲三忽二防○【舊五寸三分三厘三毫強】
無射五寸○五厘一毫○七忽九防二纎【舊四寸九分九厘四毫強】應鐘四寸七分六厘七毫五絲八忽三防九纎【舊四寸七分四厘○毫強】
已上諸正律如欲以次求之則以本律為實以五億乗之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律
半律長【附舊律備考】
黃鐘四寸五分【舊同】
大呂四寸二分四厘七毫四絲三忽四防四纎【舊四寸二分一厘四毫強】
太蔟四寸○○九毫○四忽四防二纎【舊四寸】
夾鐘三寸七分八厘四毫○三忽三防八纎【舊三寸七分四厘六毫弱】
姑洗三寸五分七厘一毫六絲五忽二防三纎【舊三寸五分五厘五毫強】
仲呂三寸三分七厘一毫一絲九忽○九纎【舊三寸三分二厘九毫強】
已上諸半律如欲以次求之則以本律為實以五億乗之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律【諸倍律約十為九正律折半半律又折半得之甚易本不須乗除仍載乘除法者欲見句股乘除開方求出應鐘之率實為真率諸律相求皆以此為根用全用半無徃不通也】
縱黍八十一分律依新法算【惟算正律】
黃鐘八寸一分
大呂七寸六分四厘五毫三絲八忽一防九纎
太蔟七寸二分一厘六毫二絲七忽九防六纎
夾鐘六寸八分一厘一毫二絲六忽○九纎
姑洗六寸四分二厘八毫九絲七忽四防二纎
仲呂六寸○六厘八毫一絲四忽三防六纎
蕤賔五寸七分二厘七毫五絲六忽四防九纎
林鐘五寸四分○六毫一絲○一防四纎
夷則五寸一分○二毫六絲八忽○二纎
南呂四寸八分一厘六毫二絲八忽八防八纎
無射四寸五分四厘五毫九絲七忽一防二纎
應鐘四寸二分九厘○八絲二忽五防五纎
諸律如欲以次求之置本律之率以八十一億乗之折半退位為實以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律
縦黍八十一分作九寸律依新法算
例曰此法每寸九分每分九厘每厘九毫每毫九絲每絲九忽每忽九防每防九纎皆以九為法故與十不同
黃鐘九寸
大呂八寸四分四厘○六絲七忽四防五纎
太蔟八寸○一厘四毫一絲六忽○八纎
夾鐘七寸五分一厘○一絲○七防四纎
姑洗七寸一分二厘五毫四絲二忽
仲呂六寸六分六厘一毫一絲六忽八防一纎
蕤賔六寸三分二厘四毫二絲八忽四防七纎
林鐘六寸○○四毫八絲四忽二防七纎
夷則五寸六分○二毫一絲四忽七防五纎
南呂五寸三分一厘四毫一絲六忽六防三纎
無射五寸○四厘一毫二絲一忽一防五纎
應鐘四寸六分八厘一毫五絲一忽○五纎
黃鐘半律四寸四分四厘四毫四絲四忽四防四纎朱載堉曰約十為九主意蓋為三分損益而設使歸除無不盡數耳夫律呂之理循環無端而杪忽之數歸除不盡此自然之理也因其天生自然不須人力穿鑿以此算律何善如之歴代算律只欲杪忽除之有盡遂致律呂往而不返此乃顛倒之見非自然之理也是以新法不用三分損益不拘隔八相生然而相生有序循環無端十二律呂一以貫之此蓋二千余年之所未有自我圣朝始也非學者所宜盡心焉者乎
按古人算律亦非因杪忽欲除盡遂致律呂往而不返也其根源自宮聲八十一徴聲五十四商聲七十二羽聲四十八角聲六十四俱是三分損益之數意其數為天生自然遂以此定律呂之長短不知其數仍有毫厘之差也天地之真數潛隠既乆有時而泄故載堉能思得之耳
律體【上】
蔡氏律呂新書曰十二律圍徑自先漢以前?記竝無明文惟班志云黃鐘八百一十分繇此之義起十二律之周徑然其説乃是以律之長自乗而因之以十蓋配合為説耳未可以為據也惟審度章云一黍之廣度之九十分黃鐘之長一為一分嘉量章則以千二百黍實其龠謹衡權章則以千二百黍為十二銖則是累九十黍以為長積千二百黍以為廣可見也夫長九十黍容千二百黍則空圍當有九方分乃是圍十分三厘八毫徑三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之則一千二百也蓋十其廣之分以為長十一其長之分以為廣自然之數也又曰夫律以空圍之同故其長短之異可以定聲之高下孟康不察乃謂凡律圍徑不同各以圍乘長而得此數者蓋未之考也【孟康曰林鐘長六寸圍六分以圍乘長得積三百六十分太蔟長八寸圍八分為積六百四十分】
朱載堉曰舊律圍徑皆同而新律各不同禮記注防曰凡律空圍九分月令章句曰圍數無増減及隋志安豐王等説皆不足取也故著此論論曰琴瑟不獨徽柱之有逺近而?亦有巨細焉笙竽不獨管孔之有高低而簧亦有厚薄焉?之巨細若一但以徽柱逺近別之不可也簧之厚薄若一但以管孔高低別之不可也譬諸律管雖有修短之不齊亦有廣狹之不等先儒以為長短雖異圍徑皆同此未達之論也今若不信以竹或筆管制黃鐘之律一様二枚截其一枚分作兩段全律半律各令一人吹之聲必不同合矣此昭然可騐也又制大呂之律一様二枚周徑與黃鐘同截其一枚分作兩段全律半律各令一人吹之則亦不相合而大呂半律乃與黃鐘全律相合略差不逺是知所謂半律者皆下全律一律矣大抵管長則氣隘隘則雖長而反清管短則氣寛寛則雖短而反濁此自然之理先儒未達也要之長短廣狹皆有一定之理一定之數在焉置黃鐘倍律九而一以為外周用?求句股術得其內周又置倍律四十而一以為內徑用句股求?術得其外徑蓋律管兩端形如環田有內外周徑焉外周內容之方即內徑也內周外射之斜即外徑也方圓相容天地之象理數之妙者也黃鐘通長八十一分者內周九分是為八十一中之九即約分法九分中之一也若約黃鐘八十一分作為九寸則其內周當云一寸舊以九十分為黃鐘而云空圍九分者誤也況又穿鑿指為面羃九方分則誤益甚矣按載堉此論亦二千年來所未有者也漢志之説孟康之釋推其誤有數端黃鐘約十為九內周當云一寸而云圍九分其誤一圍九分則徑不及三分徑三分則圍不啻九分而云徑三分圍九分乃徑一圍三之謬法其誤二諸律以長乗者乃是乗黃鐘之面冪退位以為本律之面冪非乘其圍分也而云以圍乗長其誤三既乗得本律之面冪再以本律之長乘之乃得本律之積而云以圍乗長即得積其誤四牽于九六八之數附防天地人其誤五劉歆班固孟康雖有此數誤然猶曰繇此之義起十二律之周徑則十二律各有周徑其説猶近是也迨漢末諸儒鄭氏蔡氏之説出乃斷以為凡律圍九分無増減此説遂牢不可破矣夫使圍徑皆同但以長短別高下則彈琴者惟按徽取聲而七?之粗細同散聲同可乎不可乎凡圓中容積與方中容積同理試使有方田百畝其方折半則中容必是二十五畝斷非五十畝故黃鐘半律必殺小其圍徑截為兩段則與蕤賔同其容積非半黃鐘矣此理若不抉破后之造律制樂者雖使制得黃鐘真律大呂以下皆非其律況未必真得黃鐘乎人知黃鐘中聲之難求不知大呂以下諸
律正未易制黃鐘大呂惟人所命若舊説不破何以得真黃鐘真大呂哉惟我
圣祖仁皇帝誨諭臣工之學律者特?線與線體與體之比例不同一條正所以破前人圍徑皆同之謬説也其言加減八倍而后應者借立方體積相去八倍言之若律管容積加減四倍即應也載堉云長短廣狹皆有一定之理一定之數此語誠然先儒算學不精格物未至是以前志之猶近是者不能?明后人之立謬説者遂為蔽惑耳
載堉言置黃鐘倍律九而一以為外周用?求句股術得其內周此算術仍未精宻后詳考訂正之算律須求真數不可有毫厘之差也
新書言空圍當有九方分非也昔人明言周言圍不得以周圍為方冪如言方冪則黃鐘不得有九方分新法算黃鐘面冪九分八厘一毫七絲有竒者橫黍尺之分厘毫絲也以斜黍九十分者約之只得八分八厘三毫五絲有竒耳其云圍十分三厘八毫徑三分四厘六毫者圍三徑一之謬法也如圍十分三厘八毫則徑只有三分三厘二毫如徑三分四厘六毫則圍有十一分零七毫有竒矣又以徑自乘為方積四分取三為圓積以求合于九方分此又圓田求積之粗率不可用之以算律管也夫徑三分四厘六毫者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故擴其圍徑以就之當時用上黨羊頭山黍以三等篩篩之而取其中則黍亦可遷就矣要之黍非真黍律非真律而算亦非真算蔡氏猶仍其誤豈古人有宻率載在史志者竟未嘗深究耶
周徑冪積密率
按平圓周徑冪積可互相求舊云周三徑一又以方積四分之三為圓積皆疎舛之率不可承用者也欲算各律之外周內周外徑內徑及空圍內之面冪實積須求最宻之率方凖古之算家祖沖之為最其割圓之法用綴術漸次求之得其周徑之率攷之隋書律志祖氏原有三率一云徑七周二十二者約率也一云徑一百一十三周三百五十五者密率也然約率則強宻率猶稍弱仍有最宻之率則徑一周三一四一五九二六五是也葢三一四一五九二七為贏限三一四一五九二六為朒限正數在贏朒二限之間末位約之為五三一四一五九二六五共得九位亦可以為算周徑之用矣周徑相乘得七八五三九八一六二五為平冪或以半徑乘半周亦得平冪此最宻之率也試借西人八線表驗之
西人分周天為三百六十度一度又析為六十分是分大圓為二萬一千六百邊也八線各有相當正?與余割相乗與半徑全數自乘等積查表一分之余割線三四三七七四六八二因此求得一分之正?二九○八八八二○四五○一以二萬一千六百折半為一萬○八百乗之得三一四一五九二六○八六一八正?是直線圓周是曲線幾與之等而曲者必稍贏是以比圓周稍朒焉故徑一則周三一四一五九二六五為最宻之率宜用之
朱載堉宻率法云圓周四十容方九句股求?數可知遂以此為求徑率求周求積亦如之謂圓周四十寸者內容方九寸九寸各自乘并得一百六十二寸開方得斜?為圓徑也今按此法猶未宻正法圓周三一四一五九二六五內容方七○七一○六七八一葢圓周四十則容方不啻九若容方九則圓周不及四十載堉以此率求諸律周徑冪積惟徑無差若周冪積四位以后稍有嬴余不得為真數矣數不真確不可載之于書故今依祖氏法推算
先求三十六律通長真數
載堉云黃鐘倍律通長二尺容黍二合稱重二兩律度量衡無非倍者此自然全數也故算法皆從倍律起若夫正律于度雖足于量于衡則皆不足只容半合只重半兩比諸倍律似非自然全數故算法不從正律起亦不從半律起倍律正律半律各有十二共為三十六律
按諸律通長已見前篇其以次迭求之法已見第二卷茲不再述
次求三十六律外徑內徑
按載堉之法先求周今易之先求徑六陽律之外內徑有與他律通長相應退一位即得者不必求?一位者十分之一也開列如左
蕤賔正律通長退一位即黃鐘倍律外徑
林鐘正律通長退一位即太蔟倍律外徑
夷則正律通長退一位即姑洗倍律外徑
南呂正律通長退一位即蕤賔倍律外徑
無射正律通長退一位即夷則倍律外徑
應鐘正律通長退一位即無射倍律外徑
黃鐘半律通長退一位即黃鐘倍律內徑正律外徑大呂半律通長退一位即太蔟倍律內徑正律外徑太蔟半律通長退一位即姑洗倍律內徑正律外徑夾鐘半律通長退一位即蕤賔倍律內徑正律外徑姑洗半律通長退一位即夷則倍律內徑正律外徑仲呂半律通長退一位即無射倍律內徑正律外徑蕤賔半律通長退一位即黃鐘正律內徑半律外徑林鐘半律通長退一位即太蔟正律內徑半律外徑夷則半律通長退一位即姑洗正律內徑半律外徑南呂半律通長退一位即蕤賔正律內徑半律外徑無射半律通長退一位即夷則正律內徑半律外徑應鐘半律通長退一位即無射正律內徑半律外徑凡倍律內徑折半即半律內徑
凡六隂呂以陽律之徑分為實以十億乗之以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之即得本呂之徑隂呂求陽律亦仿此十億○二千九百三十萬有竒之數者應鐘倍律外徑五一四六五一一一八三二一七四六○進位倍數也
次求三十六律外周內周
以本律之徑乗三一四一五九二六五以十除之得周
如迭求之以本律之周為實以十億乘之以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之得次律之周
倍律外周折半即正律內周半律外周
倍律內周正律外周折半即半律內周
次求三十六律面冪
以本律之周徑相乘為實以四歸之或以半周半徑相乗皆得面冪
如迭求之以本律之面冪為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律之面冪
倍律面冪折半即正律之面冪正律面冪折半即半律之面冪
置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黃鐘面冪各以正律通長乘之得各倍律之面冪
置七八五三九八一六二五以八除之得正律黃鐘面冪各以倍律面冪折半得各正律之面冪
置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律黃鐘面冪各以正律面冪折半得各半律之面冪
次求三十六律實積
各律以通長乘本律面冪再以通長乘所得即本律實積
如欲以次求之置本律實積為實以十兆乗之以十一兆二千二百四十六萬二千○四十八億三千○九十三萬七千二百九十八除之得次律實積
倍律實積四歸之得正律實積正律實積四歸之得半律實積
黃鐘倍律面冪進一位即蕤賔倍律之實積倍之即黃鐘倍律之實積
太蔟倍律面冪進一位即林鐘倍律之實積倍之即大呂倍律之實積
姑洗倍律面冪進一位即夷則倍律之實積倍之即太蔟倍律之實積
蕤賔倍律面冪進一位即南呂倍律之實積倍之即夾鐘倍律之實積
夷則倍律面冪進一位即無射倍律之實積倍之即姑洗倍律之實積
無射倍律面冪進一位即應鐘倍律之實積倍之即仲呂倍律之實積
黃鐘正律面冪進一位即黃鐘正律之實積半之即蕤賔正律之實積
太蔟正律面冪進一位即大呂正律之實積半之即林鐘正律之實積
姑洗正律面冪進一位即太蔟正律之實積半之即夷則正律之實積
蕤賔正律面冪進一位即夾鐘正律之實積半之即南呂正律之實積
夷則正律面冪進一位即姑洗正律之實積半之即無射正律之實積
無射正律面冪進一位即仲呂正律之實積半之即應鐘正律之實積
已上諸律有相應處可見一氣貫通之妙載堉未言今推之如此學者宜深玩之
律管長短廣狹自然之理數河圖已顯其象象數篇詳之