西洋利瑪竇譯
界説十九則
前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自兩以上多幾何同例相比者也而本卷則總説完幾何之同例相比者也諸卷中獨此卷以虛例相比絶不及線靣體諸類也第六卷則論線論角論圜界諸類及諸形之同例相比者也今先解向后所用名目為界説十九
第一界
分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分
以小幾何度大幾何謂之分曰幾何之幾何者謂非此小幾何不能為此大幾何之分也如一防無分亦非幾何即不能為線之分也一線無廣狹之分非廣狹之幾何
即不能為靣之分也一靣無厚薄之分非厚薄之幾何即不能為體之分也曰能度大者謂小幾何度大幾何能盡大之分者也如甲為乙為丙之分則甲為乙三分之一為丙六分之一無贏不足也若戊為丁之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不足是小不盡大則丁不能為戊己之分也以數明之若四于八于十二于十六于二十諸數皆能盡分無贏不足也若四于六于七于九于十于十八于三十八諸數或贏或不足皆不能盡分者也本書所論皆指能盡分者故稱為分若不盡分者當稱幾分幾何之幾如四于六為三分六之二不得正名為分不稱小度大也不為大幾何內之小幾何也
第二界
若小幾何能度大者則大為小之幾倍
如第一界圖甲與乙能度丙則丙為甲與乙之幾倍若丁戊不能盡己之分則己不為丁戊之幾倍第三界
比例者兩幾何以幾何相比之理
兩幾何者或兩數或兩線或兩靣或兩體各以同類大小相比謂之比例若線與靣或數與線相比此異類不為比例又若白線與黒線熱線與冷線相比雖同類不以幾何相比亦不為比例也
比例之説在幾何為正用亦有借用者如時如音如聲如所如動如稱之屬皆以比例論之
凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前率所比之他幾何為后率如以六尺之線比三尺之線則六尺為前率三尺為后率也反用之以三尺之線比六尺之線則三尺為前率六尺為后率也比例為用甚廣故詳論之如左
凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為小合如直角方形之兩邉與其對角線可以相比而非數可明者是也
如上二種又有二名其大合線為有兩度之線如二十尺比八尺兩線為大合則二尺四尺皆可兩度之者是也如此之類凡數之比例皆大合也何者有數之屬或無他數可兩度者無有一數不可兩度者若七比九無他數可兩度之以一則可兩度之也其小合線為無兩度之線如直角方形之兩邉與其對角線為小合即分至萬分以及無數終無小線可以盡分能度兩率者是也【此論詳見十卷末題】
小合之比例至十卷詳之本篇所論皆大合也凡大合有兩種有等者如二十比二十十尺之線比十尺之線是也有不等者如二十比十八比四十六尺之線比二尺之線是也
如上等者為相同之比例其不等者又有兩種有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一分五為幾倍大帶幾分
一為幾倍大者謂大幾何內有小幾何或二或三或十或八也如二十與四是二十內為四者五如三十尺之線與五尺之線是三十尺內為五尺者六則二十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為六倍大之比例也仿此為名可至無窮也
二為等帶一分者謂大幾何內既有小之一別帶一分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至無窮者是也如三與二是三內既有二別帶一一為二之半如十二尺與九尺之線是十二內既有九別帶三三為九三分之一則三與二名為等帶半也十二尺與九尺名為等帶三分之一也
三為等帶幾分者謂大幾何內既有小之一別帶幾分而此幾分不能合為一盡分者是也如八與五是八內既有五別帶三一每一各為五之分而三一不能合而為五之分也他如十與八其十內既有八別帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一卻能為八四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即名為等帶六分也四為幾倍大帶一分者謂大幾何內既有小幾何之二之三之四等別帶一分此一分或元一之半或三分四分之一以至無窮者是也如九與四是九內既有二四別帶一一為四之分之一則九與四名為二倍大帶四分之一也
五為幾倍大帶幾分者謂大幾何內既有小幾何之二之三之四等別帶幾分而此幾分不能合為一盡分者是也如十一與三是十一內既有三三別帶二一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也則十一與三名為三倍大帶二分也
大合比例之以小不等者亦有五種俱與上以大不等五種相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾倍大帶幾分
凡比例諸種如前所設諸數俱有書法書法中有全數有分數全數者如一二三十百等是也分數者如分一以二以三以四等是也書全數依本數書之不必立法書分數必有兩數一為命分數一為得分數如分一以三而取其二則為三分之二即三為命分數二為得分數也分一為十九而取其七則為十九分之七即十九為命分數七為得分數也
書以大小不等各五種之比例其一幾倍大以全數書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若四倍即書四六倍即書六也其反幾倍大即用分數書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之數如大為五倍大之比例則此書五之一是也若四倍即書四之一六倍即書六之一也
其二等帶一分之比例有兩數一全數一分數其全數恒為一其分數則以分率之數為命分數恒以一為得分數如三與二名為等帶半即書一別書二之一也其反等帶一分則全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又如等帶八分之一反書之即書九之八也又如等帶一千分之一反書之即書一千○○一之一千也其三等帶幾分之比例亦有兩數一全數一分數其全數亦恒為一其分數亦以分率之數為命分數以所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書一別書七之三也其反等帶幾分亦全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加大之得分數為此之命分數如大為等帶七之三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二十也
其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數恒以一為得分數如二十二與七二十二內既有三七別帶一一為七分之一名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分數一為得分數書三別書七之一也其反幾倍大帶一分則以大比例之命分數為此之得分數以大之命分數乘大之倍數加一為此之命分數如大為三帶七之一即以七乘三得二十一又加一為命分數書二十二之七也又加五帶九之一反書之九乘五得四十五加一為四十六即書四十六之九也其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如二十九與八二十九內既有三八別帶五一名為三倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分數書三別書八之五也其反幾倍大帶幾分則以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數乘大之倍數加大之得分數為此之命分數如大為三帶八之五即以八乘三得二十四加五為二十九書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之五也
以上大小十種足盡比例之凡不得加一減一第四界
兩比例之理相似為同理之比例
兩幾何相比謂之比例兩比例相比謂之同理之比例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁兩幾何之比例其理相似為同理之比例又若戊與己兩幾何之比例偕己與庚兩幾何之比例其理相似亦同理之
比例
凡同理之比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之比例本篇所論皆量法之比例也量法比例又有二種一為連比例連比例者相續不斷其中率與前后兩率逓相為比例而中率既為前率之后又為后率之前如后圖戊與己比己又與庚比是也二為斷比例斷比例者居中兩率一取不再用如前圖甲自與乙比丙自與丁比是也
第五界
兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何
上文言為比例之幾何必同類然同類中亦有無比例者故此界顯有比例之幾何也曰倍其身而能相勝者如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大于八尺之線是為有比例之線也又如直角方形之一邉與其對角線雖非大合之比例可以數明而直角方形之一邉一倍之即大于對角線【兩邉等三角形其兩邉并必大于一邉見一卷二十】是亦有小合比例之線也又圜之徑四倍之即大于圜之界則圜之徑與界亦有小合比例之線也【圜之界當三徑七分徑之一弱別見圜形書】又曲線與直線亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形別作一直角方形與之等【六卷三十三一増題今附】即曲直兩線相視有大有小亦有比例也又方形與圜雖自古至今學士無數不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如上圖直角鈍角鋭角皆有與曲線角等者若第一圖甲乙丙直角在甲乙乙丙兩直線內而其間設有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙丙直角等矣依顯壬庚癸曲線角與己庚辛鈍角等也又依顯卯丑辰曲線角與子丑寅鋭角各減同用之子丑丑辰內圜小分即兩角亦等也此五者皆疑無比例而實有比例者也他若有窮之線與無窮之線雖則同類
實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線故也又線與靣靣與體各自為類亦無比例何者畢世倍線不能及靣畢世倍靣不能及體故也又切圜角與直線鋭角亦無比例何者依三卷十六題所説畢世倍切邉角不能勝至小之鋭角故也此后諸篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理以需后論也
第六界
四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或俱為大俱為小恒如是
兩幾何曷顯其能為比例乎上第五界所説是也兩比例曷顯其能為同理之比例乎此所説是也其術
通大合小合皆以加倍法求之如
一甲二乙三丙四丁四幾何于一
甲三丙任加幾倍為戊為己戊倍
甲己倍丙其數自相等次于二乙四丁任加幾倍為庚為辛庚倍乙辛倍丁其數自相等而戊與己偕庚與辛相視或等或俱大或俱小如是等大小累試之恒如是即知一甲與二乙偕三丙與四丁為同理之比例也
如初試之甲幾倍之戊小于乙幾倍之庚而丙幾倍之己亦小于丁幾倍之辛又試之倍甲之戊與倍乙之庚等而倍丙之己亦與倍丁之辛等三試之倍甲
之戊大于倍乙之庚而倍丙之己
亦大于倍丁之辛此之謂或相等
或雖不等而俱為大俱為小若累
合一差即元設四幾何不得為同理之比例如下第八界所指是也
下文所論若言四幾何為同理之比例即當推顯第一第三之幾倍與第二第四之幾倍或等或俱大俱小若許其四幾何為同理之比例亦如之
以數明之如有四幾何第一為三第二為二第三為六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第四之四同加
九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也若爾或俱大俱小或等累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例也
以上論四幾何者斷比例之法也其連比例法仿此但連比例之中率兩用之既為第二又為第三視此異耳
第七界
同理比例之幾何為相稱之幾何
甲與乙若丙與丁是四幾何為同理之
比例即四幾何為相稱之幾何又戊與
己若己與庚即三幾何亦相稱之幾何
第八界
四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第三與四之比例
此反上第六界而釋不同理之兩比例其相視曷顯
為大曷顯為小也謂第一第三之幾
倍與第二第四之幾倍依上累試之
其間有第一之幾倍大于第二之幾
倍而第三之幾倍乃或等或小于第四之幾倍即第一與二之比例大于第三與四之比例也如上圖甲一乙二丙三丁四甲與丙各三倍為戊己乙與丁各四倍為庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲與乙之比例大于丙與丁也若第一之幾倍小于第二之幾倍而第三之幾倍乃或等或大于第四之幾倍即第一與二之比例小于第三與四之比例如是等大小相戾者但有其一不必再試
以數明之中設三二四三四幾何先有第一之倍大于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后復有第一之倍大于第二之倍而第三之倍乃或等或小于第四之倍即第一與二之比例大于第三與四也若以上圖之數反用之以第一為二第二為一第三為四第四為三則第一與二之比例小
于第三與四
第九界
同理之比例至少必三率
同理之比例必兩比例相比如甲與乙若丙與丁是四率斷比例也若連比例之戊與己若己與庚則中率己既為戊之后又為庚之前是以三率當四率也
第十界
三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例四幾何為同例之連比例則第一與四為三加之比例仿此以至無窮
甲乙丙丁戊五幾何為同理之連比例其甲與乙若乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊即一甲與三丙視一甲與二乙為再加之比例又一甲與四丁視一甲與二乙為三加之比例何者甲丁之中有乙丙兩幾何
為同理之比例如甲與乙故也又一甲與五戊視一甲與二乙為四加之比例也若反用之以戊為首則一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加也
下第六卷二十題言此直角方形與彼直角方形為此形之一邉與彼形之一邉再加之比例何者若作三幾何為同理之連比例則此直角方形與彼直角方形若第一幾何與第三幾何故也以數明之如此直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此形邉與彼形邉若九與一也夫九與一之間有三為同理之比例則九三一三幾何之連比例既有三與一為比例又以九比三三比一為再加之比例也則彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分之一也大畧第一與二之比例若線相比第一與三若平靣相比第一與四若體相比也【第一與五若筭家三乘方與六若四乘方與七若五乘方仿此以至無窮】
第十一界
同理之幾何前與前相當后與后相當
上文己解同理之比例此又解同理之幾何者蓋一
比例之兩幾何有前后而同理之兩
比例四幾何有兩前兩后故特解言
比例之論常以前與前相當后與后
相當也如上甲與乙丙與丁兩比例
同理則甲與丙相當乙與丁相當也戊己己庚兩比例同理則己既為前又為后兩相當也如下文有兩三角形之邉相比亦常以同理之兩邉相當不可混也
上文第六第八界説幾何之幾倍常以一與三同倍二與四同倍則以第一第三為兩前第二第四為兩后各同理故
第十二界
有屬理更前與前更后與后
此下説比例六理皆后論所需也
四幾何甲與乙之比例若丙與丁今
更推甲與丙若乙與丁為屬理 下言屬理皆省曰更
此論未證證見本卷十六
此界之理可施于四率同類之比例若兩線兩靣或兩靣兩數等不為同類即不得相更也
第十三界
有反理取后為前取前為后
甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與甲若丁與丙為反理
證見本篇四之系
此界之理亦可施于異類之比例
第十四界
有合理合前與后為一而比其后
甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合甲丙為一而比乙丙合丁己為一而比戊己即推甲丙與乙內若丁己與戊己是合兩前后率為兩一率而比兩后率也
證見本卷十八
第十五界
有分理取前之較而比其后
甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分推甲乙之較甲丙與丙乙若丁戊之較丁己與己戊
證見本卷十七
第十六界
有轉理以前為前以前之較為后
甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己
證見本卷十九
第十七界
有平理彼此幾何各自三以上相為同理之連比例則此之第一與三若彼之第一與三又曰去其中取其
首尾甲乙丙三幾何丁戊己三幾何
等數相為同理之連比例者甲與乙
若丁與戊乙與丙若戊與己也今平
推首甲與尾丙若首丁與尾己
平理之分又有二種如后二界
第十八界
有平理之序者此之前與后若彼之前與后而此之后與他率若彼之后與他率
甲與乙若丁與戊而后乙與他率丙
若后戊與他率己是序也今平推甲
與丙若丁與己也【此與十七界同重宣序義以別后界】
【也】
證見本卷二十二
第十九界
有平理之錯者此數幾何彼數幾何此之前與后若彼之前與后而此之后與他率若彼之他率與其前
甲乙丙數幾何丁戊己數幾何其甲
與乙若戊與己又此之后乙與他率
丙若彼之他率丁與前戊是錯也今
平推甲與丙若丁與己也【十八十九界推法于十七界中通論之故兩題中不再著也】
證見本卷二十三
増一幾何有一幾何相與為比例即此幾何必有彼幾何相與為比例而兩比例等一幾何有一幾何相與為比例即必有彼幾何與此幾何為比例而兩比例等【比例同理省曰比例等】
甲幾何與乙幾何為比例即此幾何丙亦必有彼幾何如丁相與為比例若甲與乙也丙幾何與丁幾何為比例即必
有彼幾何如戊與此幾何丙為比例若丙與丁也此理推廣無礙于理有之不必舉其率也舉率之理備見后卷
幾何原本卷五之首
欽定四庫全書