十九世紀引以為自豪的是汽力的發明及進化論的創立，但它獲得其名聲的一種更合法的權力也許來自純數學的發現。像絕大多數其他科學一樣，這門科學在誕生之前就經受了洗禮；而且我們因而發現，十九世紀之前的作者間接提到了他們所謂的純數學。但是，假如問他們這門學科是什么，他們只能說它是由算術、代數及幾何等等構成的。至于這些分支學科所共同擁有的東西，以及它們同應用數學的區別，我們的祖先一無所知。
純數學是由布爾在一部被他稱為《思維法則》（1854）的著作中所展示的。這部著作處處斷言它不是數學；而事實上，布爾太謙虛了，以至于不能認為他的書是人類曾經寫下的第一部數學書。他也錯誤地認為他在處理思維法則：人們實際上是如何思考的這個問題與他完全無關，而且假如他的書真的包含思維法則，那么以前未曾有人以這樣的方式思考就是一件奇怪的事。他的書事實上說的是形式邏輯，而這就是數學。
純數學完全是由一些斷言組成的。這些斷言的大意是，假如如此這般的一個命題對于任一事物為真，那么如此這般的另一個命題對于那個事物也為真。不必討論第一個命題是否確實為真，也不必提及我們假定對于其為真的那個事物是什么。這兩個關鍵點都屬于應用數學。在純數學中，我們是從某些推論規則出發的；通過這些規則，我們就能推斷，假如一個命題為真，那么就有另外某個命題也為真。這些推論規則構成形式邏輯原理的主要部分。那么，我們以任意一個看似有趣的假設為例，并推導一下它的結果。如果我們的假設是關于任一事物的，而非關于一個或多個其他特殊事物的，那么我們的推論就構成了數學。因而，數學可以被定義為我們絕不知道我們在其中談論什么且亦不知道所談之物是否為真的科目。我希望，已對數學開端感到困惑的人將在這個定義中找到安慰，并可能同意這個定義是準確的。
由于現代數學的主要成就之一就在于發現了數學實際上是什么，在這個問題上多說幾句也許不是不合適的。通常，在任何一個數學分支（比如幾何學）中，我們都是從一定數量的原始概念及一定數量的原始命題或公理開始的；原始概念被假定是不可定義的，而原始命題或公理被假定是不可證明的。現在，實際情況是，盡管在應用數學的每一個分支中都有一些不可定義和不可證明的東西，但在純數學中，除了屬于普通邏輯的那些以外，是不存在這樣的東西的。一般說來，邏輯的特點就在于，它的命題能被放入一種形式的東西中，而且在那種形式中，這些命題適用于任意一個事物。一切純數學——算術、分析及幾何——都是通過原始邏輯概念的組合而建立起來的，而它們的命題是從諸如三段論及其他推論規則這樣的一般邏輯公理中推論出來的。而且，這不再是一種夢想或者一種渴望。恰恰相反，在數學領域較大而又較困難的那一部分，此項工作已經完成了；在余下的幾個問題上，并不存在任何特殊的困難，而且人們現在正快速地從事著這項工作。關于這樣的推論是否可能，哲學家們已爭論了許多世紀，而數學家們則坐了下來，并做出了推論。現在，對于哲學家來說，除了體面地承認此種推論，并無剩下的事情可做。
因而，形式邏輯最終表明自己就是數學。眾所周知，這門學科是由亞里士多德所創立的，并成了中世紀的首要學科（除了神學以外）。但是，亞里士多德絕未超出三段論，并且經院學者們絕未超出亞里士多德；而三段論只是形式邏輯的一個很小的部分。如果需要某種證據來證明我們超出了中世紀的神學家，那么我們就可以在這里找到。在整個中世紀，幾乎所有最優秀的英才人物都獻身于形式邏輯，而在十九世紀，世界思想中僅有極微小的一部分涉入了這門學科。不過，自1850年以來，人們在每一個十年期間為發展這門學科而做的事情，都比從亞里士多德到萊布尼茨的整個這段時間內所做的事情多。人們已經發現如何使推理像在代數中那樣符號化，以便使推論通過數學規則而得以完成。除了三段論以外，人們還發現許多規則；而且一個被稱為相干邏輯注25的新的邏輯學分支已經創立了，并被用來處理舊邏輯所完全無能為力的一些問題，盡管那些問題構成了數學的主要內容。
在討論數學基礎時讓外行的頭腦認識到符號體系的重要性是不容易的，而且所作的解釋也許會以一種異乎尋常的方式顯現為一種似非而是的東西。實際情況是，因為符號體系使事情變得復雜艱澀了，所以它是有用的。（就數學的高級部分而言，這種情況并不存在；它只是就數學的開端部分而言的。）我們希望知道的是，我們能從什么推論出什么。現在，在開端處，一切都是不證自明的；而且很難看出一個不證自明的命題是否是從另外一個命題推論出來的。顯而易見的東西總是與正確的東西為敵。因此，我們發明了某種新的復雜艱澀的符號體系；在這個體系中，任何東西都不是顯而易見的。然后，我們針對符號制定一些運算規則，從而整個事情就成為一種機械性的東西了。通過這種方式，我們就發現什么東西必須被當作前提，以及什么東西能被證明或定義。例如，我們已表明，整個算術及代數需要三個不可定義的概念及五個不可證明的命題；但是，如果沒有一個符號體系，我們就很難看出這一點。二加二等于四是非常顯而易見的，以至于我們幾乎不能讓自己充分懷疑它能否被證明；在別的例子中，假如有一些不證自明的東西需要證明的話，情況也是如此。
但是，對于不了解情況的人來說，證明不證自明的命題可能多少是一件無意義的工作。對此，我們可以答復說，這樣的情況，即一個顯而易見的命題是從另一個顯而易見的命題中推論出來的，經常絕不是不證自明的；因此，當我們通過一種不明顯的方法證明明顯的東西時，我們確實是在揭示一些新的真理。但是，一種更有趣的答復是，由于人們既已設法證明顯而易見的命題，所以他們就發現許多這樣的命題是錯誤的。不證自明時常只是一堆鬼火；如果讓它作為我們的向導，它一定會讓我們迷路。例如，一個整體總是比其一個部分擁有更多的項，或者，一個數加上一之后就會變大，這些都再明顯不過了。但我們現在知道，這些命題通常是錯誤的。絕大多數的數是無窮的，而且假如一個數是無窮的，那么只要你愿意，你可以為之加上諸多的一，卻又絲毫不會對它產生影響。證明的優點之一就在于它向被證明的結果注入了某種懷疑，而且當顯而易見的東西可以在一些情況下得到證明而在另外一些情況下又無法得到證明時，設想它在另外那些情況下是錯誤的就成為可能了。
在當代人中，偉大的形式推理技藝大師是一位意大利人，即都靈大學的皮亞諾（Peano）教授注26。他已把大部分的數學還原成了嚴格的符號形式，而且在這個形式中根本不出現語詞；另外，他和他的追隨者還將及時把整個數學還原出來。相比于絕大多數讀者的期待，通常的數學書中的文字無疑是很少的；而且，極少有像“因此”、“讓我們假定”、“考慮”或“由此得出”這樣的短語出現。然而，所有這些都是一種讓步，并且它們都已被皮亞諾教授一掃而光。例如，假如我們希望學習整個算術、代數、微積分以及事實上通常被稱作純數學的所有東西（除了幾何學），我們必須從一部包含三個詞的詞典開始。一個符號代表零，另一個代表數，再一個代表后繼。假如你希望成為一名算術家，那么你就有必要知道這些概念的意義是什么。但是，在為三個概念創立了各種符號之后，在算術的整個發展過程中我們所需要的并不是另一個詞。所有后來的符號都是用先前的符號以及這三個概念加以解釋的。甚至連這三個概念也可以用關系和類的概念加以解釋；但是，這需要關系邏輯，而皮亞諾對此絕未論及。必須承認，數學家所須知道且由之出發的東西是不多的。所有純數學（包括幾何學）的所有概念都由之復合而成的概念至多有十來個。在一派才華非常出眾的年輕的意大利追隨者的幫助下，皮亞諾教授已經表明這一點是如何能做得到的；而且，對于他已經發明的這種方法，盡管我們有能力在很大程度上推進得比他更深入，但先驅者的榮譽一定屬于他。
兩百年以前，萊布尼茨就預見了皮亞諾所完成的這門科學，并嘗試著去創立它。因為尊重亞里士多德的權威，他未能取得成功；他不能相信亞里士多德犯有明確的形式上的謬誤。但是，不顧一切有優越感的人在對待其方案時所表現出的那種居高臨下式的輕蔑態度，他希望創立的這門學科現在誕生了。從他所稱的這種“普遍文字”中，他希望找到關于所有問題的一個解決方案，并為所有爭論找到一個結果。他說：“假如爭論出現了，在兩個哲學家之間，就如在兩個會計之間一樣，沒有必要爭論。對他們來說，帶著手中的筆，坐到桌旁，并相互向對方說‘我們來計算一下吧’（如果他們愿意，還可以請一個朋友作為見證人），這就足夠了。”這種樂觀現在看起來多少有點過分了：依然有一些問題，關于它們的解決方案是可疑的，而且依然有一些爭論是計算所無法解決的。但是，在由先前有爭議的東西所構成的整個一大片領域中，萊布尼茨的夢想已變成并不夸張的事實。過去，整個數學哲學至少像哲學的任何其他部分一樣充滿懷疑；而現在，在這個領域中，順序和確定性已取代先前盛行的混亂和猶豫。當然，哲學家尚未發現這個事實，并繼續按先前的方式就這些問題進行寫作。但至少在意大利，數學家們現在有能力以一種精確的、熟練的方式處理數學，而且通過這種方式，數學的確定性也延伸到了數學哲學。因此，在過去被列入重大的謎的問題中，有許多現在已絕不再容易招致懷疑或引起討論了，例如無窮的性質，連續的性質和空間、時間與運動的性質就是這樣。那些希望知道這些東西的性質的人只需閱讀像皮亞諾或格奧爾格·康托爾這樣的一些人的著作，他們將在那里發現關于所有這些一度曾是謎的東西的準確而又不可懷疑的解釋。
在這個變幻莫測的世界中，再沒有什么比身后的名聲更變幻莫測了。后世對其缺乏判斷的最著名的例子之一，就是埃利亞的芝諾。我們可以把這個人看作無窮哲學的創始人；在柏拉圖的《巴門尼德斯篇》中，他相對蘇格拉底處于教育者這樣的特權地位。他提出了四個論證，每一個都是無限精妙而又無限深刻的；這些論證旨在證明運動是不可能的，阿基里斯注27絕不可能追上烏龜，以及飛矢確實是靜止的。在遭遇亞里士多德以及從那時起到今天的每一個后來的哲學家的反駁后，這些論證被一位德國教授恢復了。這位教授使這些論證成為一種數學復興的基礎，而他可能做夢也沒有想到自己和芝諾之間會有某種聯系。通過嚴格從數學中排除對無窮小量（infinitesimals）注28的使用，魏爾施特拉斯注29（Weierstrass）最終表明，我們生活在一個不變化的世界中，而且飛矢真的處于靜止中。芝諾的唯一錯誤就在于他作出了如下的推斷（假如他確實這樣做了）：因為不存在像變化的狀態這樣的事物，所以世界在任一時刻的狀態都與其在任一其他時刻的狀態相同。這絕不是一個推論的結果，而且在這方面，德國數學家比善于創造的希臘人更具建設性。魏爾施特拉斯把自己的觀點體現于數學中，而在這門科學中，熟悉真理即可消除常識的粗俗偏見。通過這樣的做法，他已能夠為芝諾悖論賦予平凡言談的體面外表；假如這個結果對于熱愛理性的人來說不如芝諾的大膽挑戰令人愉快，那么它至少更適合于撫慰學究式的人類。
事實上，芝諾關心三個問題。在這三個問題中，每一個都是通過運動而呈現出來的，但每一個都比運動更抽象，而且能以純算術的方式加以處理。這三個問題分別是無窮小量問題、無窮問題及連續性問題。清晰地陳述所涉及的困難，就相當于完成了哲學家的任務中興許最為困難的那個部分。這項工作是由芝諾完成的。從芝諾到我們自己的時代，每一代中最優秀的才智非凡者輪番攻擊這些問題，但一般說來卻毫無所獲。然而，在我們自己的時代，魏爾施特拉斯、戴德金及康托爾三人不僅改進了這三個問題，而且完全解決了它們。對于那些熟悉數學的人，這些解決方案非常清晰，以至于不再會有絲毫的疑點或難點。這項成就很可能是我們這個時代必須引以為自豪的最偉大成就，而且我不知道還有哪個時代（也許除了希臘黃金時期）能更加令人信服地證明自己貢獻了其偉大人物的卓越才智。在這三個問題中，無窮小量問題是由魏爾施特拉斯解決的，其他兩個問題是由戴德金著手解決并由康托爾最終完成的。
無窮小量先前在數學中起到了一種重要的作用。它是由希臘人引進的；希臘人認為，一個圓與一個具有許許多多個邊且邊長很小的等邊多邊形之間的差別是無窮小的。它的重要性在逐漸增長；最終，當萊布尼茨發明微積分時，它似乎成了所有高等數學的基本概念。在其《腓特烈大帝史》中，卡萊爾向人們透露萊布尼茨以前常常是如何向普魯士女王索菲婭·夏洛特講述無窮小問題的，以及女王又會如何回敬他說她在那個問題上是不需要接受教育的——文武百官的行為已經使她完全熟悉了這個問題。但是，哲學家們和數學家們因為多半不太熟悉王宮生活，所以繼續討論這個話題，盡管沒有取得任何進展。微積分需要連續性，而且人們假定連續性需要無窮小；但是沒有人能夠揭示無窮小可能是什么。它顯然完全不是零，因為我們看到，數目足夠多的無窮小量加起來就組成了一個有限的整體。但是，沒有人能夠指出任何既非零又非有窮數的極小的數。因而，這就出現了僵局。但最后，魏爾施特拉斯發現，無窮小量是根本不需要的，而且一切事情都可以在沒有它的情況下得以實現。因而，無需再假定存在這樣的一種東西。現在，數學家們因此比萊布尼茨更有尊嚴：他們不再談論無窮小，而是談論無窮大。不幸的是，無窮大這個題目，無論多么適合于君主，但對他們所產生的吸引力似乎甚至比不上無窮小對萊布尼茨為之講述的君主們所曾產生的吸引力。
對無窮小量的排除產生了各種各樣奇特的后果，一個人必須逐步熟悉這些后果。例如，不存在像下一時刻這樣的事物。一個時刻與下一時刻之間的間隔必須是無窮小的，因為假如我們取彼此間具有一種有限間隔的兩個時刻，那么在這個間隔內總會有其他一些時刻。因而，假如不存在無窮小量，那么沒有哪兩個時刻是完全連續的，而是在任何兩個時刻之間總存在其他的時刻。因此，任何兩個時刻之間都一定存在無窮多的時刻；因為假如真的只有有限多的時刻，一個人就會最接近于這兩個時刻中的第一個，并因此緊鄰它。這可以被認為是一種困難；但事實上，正是在這里，無窮哲學派上了用場，并使得一切都變得直截了當。
空間方面也發生了同樣的情況。假如把任意一片物質一切為二，然后再把每一部分對半分，并一直這樣分下去，那么切分所得到的碎片將變得越來越小，并且從理論上說，我們可以讓這些碎片小到我們想要的地步。不管它們可以小到什么地步，我們還能對它們進行切分并使其變得更小。但是，不管它們可以小到什么地步，它們將總是擁有某種有限的大小。我們絕不能以這種方式達到無窮小量，而且任何有限次的切分都不會讓我們達到點。不過，點是存在的，只是我們將不會通過連續的切分而達到這些點。在這里，無窮哲學又一次向我們表明這是如何可能的，以及點為什么不是無窮小的長度。
在運動和變化問題上，我們獲得一些同樣奇怪的結果。人們過去常常認為，當一個事物變化時，它一定處在一種變化的狀態中，并且當一個事物移動時，它就處在一種運動的狀態中。現在，我們知道這種看法是錯誤的。當一個物體移動時，我們最多能說，它在一個時間處于一個地方，而在另一個時間處于另一個地方。我們一定不要說，在下一個瞬間它將在附近的一個地方，因為不存在下一個瞬間。哲學家們常常告訴我們，當一個物體處于運動中時，它是在瞬間之內改變其位置的。對于這種觀點，芝諾在很早以前就提出了這樣的致命反駁，即每一個物體都總是在其所在的地方。但是，一種如此簡明扼要的反駁并不是哲學家們通常看重的那種，而且直到我們今天這個時代，他們還在繼續重復這些同樣的激起這位愛利人破壞性熱情的說法。只是在最近，我們才有可能根據芝諾從前的說法并以同哲學家的悖論相反的方式來詳細地解釋運動。我們現在終于可以任性地持有這種令人感到舒適的信念，即一個運動的物體在其所在的地方恰恰和一個靜止的物體一樣真實。運動僅僅在于以下這一事實：物體有時在一個地方，有時在另一個地方，而在中間的時間它們處于中間的地方。只有那些在這個問題上奮力穿過哲學思考泥潭的人，才能認識到這種簡單而又明了的平常事實在何等程度上把我們從古老的偏見中解放了出來。
如我們剛才已看到的那樣，無窮小量哲學主要是破壞性的。人們過去常常相信它，而現在他們已看出自己的錯誤。另一方面，無窮哲學完全是建設性的。人們以前假定，無窮數以及通常的數學的無窮是自相矛盾的。但是，由于明顯存在諸多無窮，例如數的數目，關于無窮的矛盾似乎就不可避免了，而且哲學似乎已走進了一條“死胡同”。這個困難導致了康德的二律背反，而且因此或多或少間接導致了黑格爾辯證法中的許多東西。迄今為止，很少有幾個哲學家意識到這樣的事實，即在無窮概念問題上一切古老而又可敬的矛盾都已一勞永逸地解決了；而幾乎所有當前的哲學都因為這個事實而感到不安。造成這個事實的方法是極有趣且極富啟發性的。首先，盡管從希臘思想的開端直到今天人們都在無窮問題上夸夸其談，但未曾有人想到過問什么是無窮。假如任請一個哲學家給出一個關于無窮的定義，那么他可能會說出某種無法理解的拉拉雜雜的東西，但他確實不能提供一個在任何情況下都有某種意義的定義。大約二十年以前，戴德金和康托爾就問過這個問題，而且更值得注意的是，他們回答了這個問題。也就是說，他們發現了一個完全精確的關于無窮數或由事物所構成的無窮集合的定義。這是第一步，也可能是最重要的一步。然后，還要考察這個概念中的想象出來的矛盾。在這里，康托爾以唯一的恰當的方式繼續前進。他以幾對相互矛盾的命題作為例子，這些命題對中的矛盾雙方通常都被認為是可證明的；他嚴格考察了假想的證明。他發現，一切不利于無窮的證明都包含某個原理，而且這個原理乍一看顯然是真的，但其產生的后果幾乎可以毀滅一切數學。另一方面，有利于無窮的證明并不包含任何擁有有害后果的原理。因而看起來，常識已經允許自己被一種似是而非的基本原理欺騙，而且一旦這個基本原理被排除了，一切就都解決了。
這個基本原理是，假如一個集合是另一集合的一部分，那么前者所擁有的項比后者所擁有的項少。這個基本原理適用于有窮數。例如，英國人只是歐洲人中的一部分，而且英國人少于歐洲人。但是，當我們涉及無窮數時，這個基本原理就不再適用了。掃除了這條基本原理，我們就能獲得關于無窮的精確定義。一個項的集合是無窮的，當它包含另外一些恰好與其擁有一樣多的項的集合作為其部分時。假如你能夠移除一個集合中的一些項，同時卻又不會減少項的數量，那么該集合中存在無窮多個項。例如，偶數在數目上恰好與全體的數一樣多，因為每一種數目都能增加一倍。若把奇數和偶數全都放在一行，且又單獨把偶數放在下一行，我們就可以看到這一點——
1，2，3，4，5，直至無窮。
2，4，6，8，10，直至無窮。
顯然，下一行和上一行恰好擁有同樣多的數，因為對于上一行中的每一個數，下一行中都有一個與其對應。這種性質先前被認為是一種矛盾，而現在則被轉換成了關于無窮的一種無害的定義；而且在上例中，它表明有窮數的數目是無窮的。
但是，缺乏特定知識的人可能會覺得好奇：處理一個數不完的數目是如何可能的呢？不可能一個接一個地數完所有的數并算出總數，因為不論我們可能數了多少個數，后面總是還有更多的數。事實上，數數（counting）是發現一個集合中有多少個項的一種非常普通而又初級的方式。而且，無論如何，數數向我們提供了數學家所說的序數，即我們的集合中的項的序數。也就是說，它按一定順序或者說在一個序列中排列我們的項，而且其結果告訴我們什么類型的序列將從這種排列中產生。換言之，如果不先數某些事物而后再數其他事物，那么我們就不可能去數事物，所以數數總是與順序有關。這一來，當只存在數目上有窮的項時，我們能按照我們想要的任何順序數它們；但是，當存在一個無窮的數目時，類似于數數行為的東西將按照我們由之完成此種行為的方式而為我們提供一些完全不同的結果。因而，從一般可被稱為數數的行為中產生的序數，不僅依賴于我們有多少個項，而且依賴于（項的數目在這里是無窮的）那些項的排列方式。
基本的無窮數不是序數，而是所謂的基數。我們不是通過按順序排列好我們的項并去數它們而獲得基數的；基數是通過一種不同的方法被獲得的，這種方法首先告訴我們兩個集合是否擁有相同數目的項，或者假如它們擁有不同數目的項，它會首先告訴我們哪一個擁有更大數目的項注30。它并不通過數數所采取的那種方式來告訴我們一個集合擁有多大數目的項；但是，假如我們把一個數定義為某某集合中的項的數目，那么這種方法將使我們能夠發現另外某個可能被提到的集合是否擁有數目更多或更少的項。通過一個例子，我們就將表明這是如何做到的。假如存在某個國家，而且在這個國家中，由于一種或另一種原因而不可能進行人口普查，但大家都知道這個國家的每一個男人都有一個妻子，且每一個女人都有一個丈夫，那么（只要多配偶制不是一種國家制度）在不清點人數的情況下，我們就應該知道那個國家的男人恰好和女人一樣多，或者說既不比女人多也不比女人少。這種方法可以普遍應用。假如存在某種關系，并且就像婚姻一樣，這種關系把一個集合中的事物個個都與另一個集合中的一個事物聯系起來，而且反過來也是這樣，那么這兩個集合就擁有數目相同的項。我們就是通過這樣的方式去發現偶數與數具有相同數目的。每一個數都可以被加倍，每一個偶數都能被減半，而且每一個步驟都恰好給出一個與被加倍或被減半的那個數相對應的數。此外，通過這種方式，我們能夠發現任意多個恰好擁有與有窮數一樣多的項的集合。假如一個集合中的每一個項都能與一個數掛鉤，并且所有有窮數在這種步驟中都被使用一次且只被使用一次，那么我們的集合一定恰好擁有與有窮數一樣多的項。這就是通常的定義無窮集合的數的方式。
但是，一定不要設想所有無窮數都是相等的；恰恰相反，無窮數在數目上無限多于有窮數。在不同類型的序列中排列有窮數的方式要多于有窮數。空間中存在的點及時間中存在的瞬很可能都多于有窮數。小數和整數恰好一樣多，盡管在任意兩個整數之間都有無窮多的小數。但是，無理數比整數或小數多。空間中的點很可能恰好與無理數一樣多，而且在一條一百萬分之一英寸長的線上的點與整個無限空間中的點恰好是一樣多的。在所有的無窮數中有一個最大的數，那就是各種各樣的事物全都加在一起所得到的總數。顯然，不可能有比這更大的數，因為假如每一個事物都已被選取，就沒有剩下要加進來的東西了。康托爾以某種方式證明不存在最大的數，而且假如這個證明是有效的，那么關于無窮的矛盾就會以一種升華了的形式重新出現。但在這一點上，這位大師犯有一種非常精巧的推理錯誤；我希望在今后的某本書中對此作出解釋注31。
我們現在能夠理解為什么芝諾相信阿基里斯追不上烏龜以及為什么他事實上又能追上它了。我們將看到，所有不同意芝諾的人都沒有權利不同意，因為他們全都接受了芝諾的結論由之導出的前提。論證過程是這樣的：設阿基里斯和烏龜在同一時間沿著同一條路開始賽跑，而且允許給予烏龜一定的讓步（這樣才公平）。設阿基里斯以兩倍于或十倍于或百倍于烏龜的速度前進。這樣一來，他將永遠追不著烏龜。因為在每一個時刻，烏龜都在某個地方，阿基里斯也都在某個地方；而且當比賽繼續進行時，二者都不會在某個時刻兩次出現于同一個地方。因而，烏龜要去的地方和阿基里斯要去的地方正好是同樣多的，因為每個都將在一個時刻處于一個地方，而在任何別的時刻處于另一個地方。但是，假如阿基里斯真的要趕上烏龜，那么烏龜所到過的地方將會僅僅是阿基里斯所到過的地方的一部分。這里，我們必須假定芝諾訴諸這個基本原理，即整體比部分擁有更多的項注32。因而，假如阿基里斯要追上烏龜，他就會比烏龜到過更多的地方；但是我們看到，在任何時間段中，他所在的地方一定和烏龜所在的地方一樣多。因此我們推斷，他絕不能趕上烏龜。假如我們承認整體比部分擁有更多的項這個基本原理，那么這個論證就是完全正確的。由于結論是荒唐的，這個基本原理必須拋棄，而且拋棄之后，一切就迎刃而解了。但是，人們對過去兩千年來的哲學家及另外一些哲學家沒有好評，因為他們全都承認這個基本原理卻又否認芝諾的結論。
保留這個基本原理會導致絕對的矛盾，而排除它只會導致一些奇特的東西。必須承認，在這些奇特的東西中，有一些是非常奇特的。其中之一便是阿基里斯悖論的逆命題，我稱之為特里斯特拉姆·項狄悖論注33。這個悖論表明，假如你給烏龜時間，它將恰好能和阿基里斯走得一樣遠。我們知道，特里斯特拉姆·項狄使用了兩年時間來記載他生命中頭兩天的事情，并悲嘆道，照這樣的速度來記載，材料累積的速度會比他處理材料的速度更快，以至于隨著春秋更替，自己會越來越遠離其歷史的終點。現在我認為，假如他永遠活著，并且不對其任務感到厭煩，那么，即使其生命在延續過程中就像開始時那樣充滿故事，他的生命經歷中也沒有哪一段不會被記錄。因為，請想一下：第一百天將在第一百年被描述，第一千天將在第一千年被描述，如此等等。不管我們選擇哪一個更遙遠以至于他無法希望達到的日子，所選的那一天都將在相應的那一年被描述。因而，任何可以被提到的日子都將或遲或早被記錄下來，而且因此生命經歷中的任何一段都不會永久不被記錄。這個悖理但又完全真實的命題，依賴于這一事實即所有時間中的日子的數目不大于年份的數目。
因而，在無窮問題上要避免一些初看上去似乎悖理的結論是不可能的，而且這也說明了為什么如此多的哲學家設想無窮本身有其固有的矛盾。但是，少許的實踐就能使一個人領會康托爾學說的真實原理，并在辨認真假的問題上獲得新的更好的直覺。這些奇特的現象于是并不比生活在地球對面并與我們腳對腳的人更奇特；那些人過去常常被認為是不可能存在的，因為人們發現頭腳倒立是非常不方便的。
與無窮相關的問題的解決方法使得康托爾也能解決連續性問題。關于這個問題，就像關于無窮問題一樣，他已給出了一個完全精確的定義，并已表明，在以他的方式去定義的這個概念中不存在矛盾。但是，這個問題很具技術性，因此在這里不可能對其作出任何描述。
無窮概念依賴于順序概念，因為連續性只是一種特殊類型的順序。在現代，數學已使順序獲得了越來越重要的聲望。從前，人們認為量是數學的基本概念，而且一些哲學家目前還是傾向于這樣認為。但現在，除了從幾何學這樣的一個小角落來看，量已經完全被清除了，而順序卻日益取得主宰的地位。對不同種類的序列及其關系的研究現在是數學的一個很大部分，而且人們已發現，這種研究可以在根本不提及量的情況下進行，也多半還可以在根本不提及數的情況下進行。各種類型的序列都能從形式上加以定義，而且它們的性質能憑借關系代數從符號邏輯的原理中推演出來。極限概念是大部分的高等數學中的基本概念；過去，人們常常通過量把它定義為某個序列的項可以任意逼近的一個項。但現在，極限是以完全不同的方式被定義的，而且它所限定的序列可能根本不逼近它。這種改進也應歸功于康托爾，而且正是這種改進使數學領域發生了革命性變化。現在，唯有順序對極限有重要關系。因而，比如說，無窮整數中最小的那個就是有窮整數的極限，盡管一切有窮整數都離它無限遠。對不同類型的序列的研究是一個普通科目，而序數（即上面提及的序數）研究是其一個特殊且非常有趣的分支。但是，這門科目的不可避免的技術性，使得我們不可能向專業數學家以外的任何人解釋它。
近來，幾何學，像算術一樣，已被劃入一般的順序研究。人們先前設想，幾何學是研究我們居住于其中的空間的性質的；并且那些認為存在之物只能從經驗上被得知的人，因而主張幾何學確實應被看作應用數學的一部分。但是，由于非歐幾里得體系的壯大，幾何學似乎已漸漸不能闡明空間的性質，而這正像算術不能講清楚美國的人口一樣。幾何學是由諸演繹科學所構成的一個整體的集合，而且那些科學是以由若干組公理所構成的一個相應的集合為基礎的。其中一組公理就是歐幾里得公理，其他各組同樣令人滿意的公理導致另外一些結果。至于歐幾里得公理是否為真，純數學是不關心的；此外，這是一個從理論上講不可能有把握地加以肯定回答的問題。通過非常仔細的測量，歐幾里得公理也許會被表明是錯誤的；但是，由于觀察的錯誤，任何測量都從未能使我們確信它們是完全正確的。因而，幾何學家竭力讓科學家去判定什么樣的公理在現實世界中是最接近真實的。幾何學家任意選取一組看起來有趣的公理，并推導它們的結果。在這種意義上，幾何學的標志就在于這些公理一定會產生一個多維序列。而且正因此，幾何學成了順序研究的一部分。
在幾何學中，就像在數學的其他分支中一樣，皮亞諾及其追隨者們在原理問題上已做了最有價值的工作。從前，哲學家們和數學家們都一樣認為，幾何學中的證明依賴于圖形；現在，大家知道這是錯誤的。在最好的書中根本不出現圖形。推理是從最初制定出來的一組公理出發并根據嚴格的形式邏輯規則而展開的。假如使用圖形，各種各樣的東西似乎顯而易見地都會隨之而來；而任何形式推理都不能從明確的公理中顯示它們，并且事實上，只是因為它們是顯而易見的，所以人們才接受它們。因為清除了圖形，發現我們所需要的一切公理就成為可能了；而且，所有可能性都將通過這種方式被揭示出來，而若使用其他方式，它們依然不能被發現。
從正確的角度看，通過在需要的時候引進點，而不是像以前那樣在開始的時候就假定整個空間，我們已取得一次重要的進展。這種方法應部分地歸功于皮亞諾，部分地歸功于名叫法諾注34的另一位意大利人。對于那些不習慣這種方法的人來說，它帶有一種多少有點故作的學究式的外表。我們使用這種方法從下述公理開始：（1）存在一個由可被稱為點的實體所構成的類。（2）至少存在一個點。（3）假如a是一個點，那么除a之外至少還存在另一個點。于是，我們引入連接兩個點的直線并再一次開始，而這次的出發點是（4），也就是說，在連接a和b的直線上除了a和b之外至少還存在一個點。（5）至少存在一個不在ab線上的點。而且我們以這種方式繼續下去，直到我們擁有獲得所需要的那么多的點的方法。但是，正如皮亞諾所幽默地指出的那樣，幾何學根本不喜歡空間這個詞。
現代幾何學家所使用的嚴格的方法，已經把歐幾里得從正確的頂峰上放了下去。直到最近人們還認為，正如亨利·薩維爾爵士注35于1621年所說的那樣，歐幾里得身上只有兩個瑕疵，即平行論和比例論。現在我們知道，這兩種理論幾乎是歐幾里得僅剩的沒有瑕疵的地方。他的前八個命題中包含著數不盡的錯誤。換句話說，不僅我們可以懷疑他的公理是否是真的——相對而言這倒是小事——而且我們確信他的命題并不是從他所闡明的公理推論出來的。為了證明他的那些命題，我們還需要數量上比以前多得多的公理，而那些公理都是他在無意識地使用的。甚至在其所有命題的第一個命題中，他還使用了兩個被假定會相交的圓；在那里，他在特定的基礎上構造了一個等邊三角形。但是，任何明確的公理都不會使我們確信它們會相交，而且在某些類型的空間中，它們并不總是相交的。我們的空間是否屬于這些類型的空間中的一種，這完全難說。因而，恰恰是在這第一個命題中，歐幾里得就完全未能證明他的論點。由于他確實不是一個容易讀懂的作者，而且其表述冗長啰嗦得令人恐懼，他現在對我們只有一種歷史的吸引力。在這些情況下，若仍要把他教給英國的孩子，那完全是一件丟臉的事注36。一本書應該要么清晰易懂，要么正確無誤；把二者結合起來是不可能的，但若兩者都不具備，那就不配享有歐幾里得在教育中已經擁有的那樣一種地位。
在數學領域，現代方法的最顯著的結果在于其顯示了符號邏輯及嚴格的形式體系的重要性。在魏爾施特拉斯的影響下，現代數學家們已流露出對精確性的一種關心，以及對不嚴謹的推理的一種厭惡；而先前自希臘時代以來，數學家們一直沒有表現出這樣的關心與厭惡。十七世紀的重大發明，即分析幾何和微積分，結出了大量的新的果實，以至于數學家們既無時間也無興趣去考察其基礎。哲學家們本應承擔起這項任務，但他們的數學能力太弱了，所以不能創立現在已被發現是任何充分的討論所必需的新的數學分支。因而，只是當魏爾施特拉斯及其追隨者們表明數學家們所珍愛的絕大多數命題中有許多通常是錯誤的時，數學家們才從其“獨斷論的迷夢”中醒了過來。麥考利（Macaulay）把數學的確定性與哲學的不確定性進行了對比，并且他問道：誰曾聽說過有人反對泰勒（Taylor）定理？！假如他活到現在，他自己也許會聽到這樣的一種反對，因為這完全是已為現代研究所推翻了的定理。對數學信念的一種如此猛烈的沖擊，已經導致了那種對形式體系的熱愛；而對于那些不了解此種熱愛的動機的人，它似乎只是一種令人厭惡的學究氣。
包括幾何學在內的所有純數學都只是形式邏輯，這一證據對康德哲學而言是致命的一擊。康德正確地認識到，在不借助于圖形的情況下，歐幾里得的命題無法從他的公理中演繹出來；于是，他創立一種認識論來解釋這一事實。而且，康德的解釋非常成功，以至于當該事實被表明只不過是歐幾里得身上的缺點而非幾何推理的性質所帶來的結果時，康德的理論也必須被放棄。總體說來，他用以解釋純數學之可能性的整個先天直觀形式學說，都不能以其當前的形式應用于數學。經院學者們眼中的亞里士多德學說，在精神上更接近于現代數學所激發的各種學說；但是，經院學者們受到了以下這一事實的影響：他們的形式邏輯是很有缺陷的，并且建立在三段論基礎上的哲學邏輯顯示了一種相應的狹隘性。現在所需要的，是盡最大可能發展數理邏輯，充分承認關系的重要性，并在此可靠基礎上建立一種新的哲學邏輯；而此種哲學邏輯可以期待著借鑒其數學基礎的某些精確性與確定性。假如我們能夠成功地做到這一點，那么我們就有一切理由作出這樣的期待，即不久的將來在純哲學方面將是一個與剛剛過去的數學原理時代一樣偉大的時代。偉大的成就喚起偉大的希望，而且在我們這一代，純思想在這方面可以取得將讓我們的時代與希臘的最偉大時期相比肩的結果注37。