明 李之藻 撰
雜和較乗法第八
諸物互和未易縷析必取互乗之數較余為用以少除多得一數以推其他而纎悉見矣若條縷多者別立正負為算別同異以分加減總歸于去煩就簡故率除首列同乗減盡一數而其余則名類相同者減之相異者加之其最繁者亦視首列所主為用如首以同名減則其下同減而異并首以異名減則其下異減而同并大要與盈朒相近而又濟盈朒之窮【舊名方程用前疊借互征亦同頭緒多者用此為便】問鼎三彞二共重一百五十五兩又鼎四彞五共重二百六十五兩鼎彞各重若干將二項左右對列各作三段遞互徧乗之又相對較之視其余數以少除多而互得其重如以彞乗則反得鼎重以鼎乘則反得彞重且如以右鼎徧乗左行【鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五】以左鼎徧乗右行【鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十】各得數相減兩鼎數相等減盡不用兩彞數減余七又兩重減余一百七十五以少除多七為法一百七十五為實除得彞重二十五兩以右中彞二乗之得五十兩以減右總余一百零五兩亦以右鼎三除得每鼎重三十五兩鼎三【以乗左行得一十二】彞二【得八】重一百五十五兩【得六百二十】鼎四【以乗右行得一十二】彞五【得一十五】重二百六十五兩【得七百九十五】右法若以彞徧乗其以七為法亦同所得減余之實凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五兩以右鼎三乗之得共鼎一百五兩以減右行重數余一百兩為二彞重數若以左彞四乗之得共鼎一百四十兩以減左行重數余一百二十五兩為五彞重數
問紗三匹絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢紗絹各價若干亦將二項左右列之各三段徧乗如以右紗徧乗左行【紗七得二十一絹二得六價六兩八錢得二十兩四錢】左紗徧乗右行【紗三同上絹四得二十八價四兩八錢得三十三兩六錢】各得數對減其兩紗減盡不用兩絹減余二十二為法兩總減余一十三兩二錢為實以法除實得絹每疋價六錢就以右絹四乘得共價二兩四錢以減右總價尚余二兩四錢為右紗三疋之價得每疋價八錢
紗三【與左乗得二十一】絹四【得二十八】共四兩八錢【得三十三兩六錢】紗七【與右乘得二十一】絹二【得六】共六兩八錢【得二十兩四錢】右式若以絹徧乘其法同前但減余之實一百七十六以法除之亦得八錢為疋紗之價以右紗三乘得二兩四錢以減右總價余二兩四錢為四絹之價若以左紗七乘得五兩六錢就減左總價余一兩二錢為二絹之價
問筆三管換硯七個貼硯價四百八十文別以硯三個換筆九管貼筆價一百八十文筆硯各價防文依前左右三行列之而以硯為正筆為負互乘得數卻于正負同名者對減異名者對加求之
硯正七【正二十一】筆負三【負九】價正四百八十文【正一千四百四十】硯正三【正二十一】筆負九【負六十三】價負一百八十文【負一千二百六十】
右硯正七乘左【硯正二十一筆負六十三價負一千二百六十】左硯正三亦乘右【硯正同上筆負得九價正一千四百四十】得數兩硯正同名減盡兩筆負同名減余五十四為法兩價正負異名加并得二千七百為實以法除實得五十文為一筆之價取右行筆負之三乘之得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右硯七個總價以七除得九十文為一硯之價若取一筆之價以左行筆負之九乘之得四百五十則當就內減總一百八十余二百七十即左行三硯之價若移置筆負為法徧乘者得異并之實四千八百六十文以法除之【五十四】得九十文為硯價
問七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕于中互換其一輕重適等不知各重若干此依互換者列位一系六釧一釵一系一釧八釵而中分其總重之數
釧六 釵一 四兩七錢
釧一 釵八【四千八】 四兩七錢【二十八兩二錢】
先以右釧六徧乘左行【釵八得四十八價四兩七錢得二十八兩二錢】次以左釧一徧乘右行【釧一價四兩七錢】對減余四十七者為法余二十三兩五錢者為實以法除實得五錢為一釵數以減右行總重【四兩七錢】余四兩二錢即六釧共數六除之得每釧重七錢
若移用右行釧一左行釵八為法徧乘者得減余之實三十二兩九錢以法除之【四十七】先得七錢為一釧之重
問錢一萬文以賣二馬一牛則不足半馬之價以賣一馬二牛則余半牛之價其牛馬價各若干此當以不足半馬者損為一馬零二分馬之一及一牛以余半牛者益之為一馬及二牛零二分牛之一依法列之而以整帶零之法乘除之
馬一匹二之一 牛一頭 價一萬文馬一匹【一匹二之一】 牛二頭二之一【三頭四之三】價一萬文【一萬五千】
先以右馬徧乘左行【馬一匹二之一牛三頭四之三價一萬五千】次以左馬徧乘右行【馬如上牛二價一萬文】其兩馬減盡兩牛減余二頭又四之三為法兩價減余五千文為實以法除實得一千八百一十八文又十一之二為牛價以減右行總價【一萬文】余八千一百八十一文又十一之九以馬一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六為馬價問甲乙二窖積粟不知各防何但云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙則各滿二千石其原窖防何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千減余二千為實而以兩母相倂得五為法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石為乙窖原粟余八百石以甲母二乘得一千六百石為甲粟其必各以母乘者蓋前所除得只是子數必歸母見整故也
甲二之一 二千石【六千】
乙三之一 二千石【四千】
問治地不知畝數每工種麥三畦種菽四畦共三百零一工其菽麥數并工數各若干此為雙頭單腳互乘取三四左右列之并得七為法其下列工數
麥三畦
菽四畦
若求菽數者右三乘總工【九百三】以法除得一百二十九為菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麥畦數若求麥數者左四乘總工【一千二百四】以法除得一百七十二為麥畦以三乘得工數如前亦以左四除得菽畦問犒夫不知數但云二人共飯三人共酒四人共肉總用飯酒肉六十五分計夫若干列三位維乘【二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八】并得二十六為法另用乘并之法【二乘三得六以乗四得二十四】得數以乘總分【六十五】 二人
得一千五百六十為實 三人 六十五分
以法除得六十為夫數 四人
問銀二百六十四兩買牛羊共一百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢內牛羊倂價各若干以牛羊各價依子母左右列之互乘得數【牛乘羊四兩五錢羊乘牛八十兩】減余七十五兩七錢為法另列總牽總價于下如求牛數者先以羊四乗總價【一千五十六】以羊價乘總牽【一百五十】減余【九百零六】為實以法除得一兩二錢為牛衰以右位牛三乘得三十六頭以二十乘得共價二百四十兩就總內減牛數余為羊數
牛三 二十兩
羊四 一兩五錢
若先求羊數者以牛三乗總價【七百九十二】以牛價乗總牽【二千】減余【一千二百零八】為實亦以法除之得一十六為羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四兩就總內減羊亦得牛數
問用匠五千名包磚板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方磚板堤匠各若干以母子左右對列互乘得數【九乗四得三十六七乘十一得七十七】減余四十一為法另列總匠總隄于下
九名 十一方
七名 四方
若求板隄數者左七乘總方【三萬四千九百六十五】四乘總匠【二萬】減余【一萬四千九百六十五】為實以法除之得三百六十五為板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于總內除板隄余皆磚數或求磚隄數者右九乗總方【四萬四千九百五十五】十一乘總匠【五萬五千】減余【一萬零四十五】為實以法除之得二百四十五為磚衰以乘左七得磚匠一千七百一十五方以乘四得磚隄九百八十方于總內除磚隄余即板數
問七人醵金不知總數亦不知各數第云甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢亦不知丙丁共數此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一為四【與后章求隔母法同】仍以右衰【三】乘之得數【十二】減半【六】又減去右衰【三】余三為右中率取左衰【二】乘總位【七人】得數【十四】內減右衰【三】余十一為左中率而各以共金數列其下
右三 三 二十六兩一錢
左三 一十一 二十三兩七錢
乃以左二徧乘右【中三得六下二十六兩一錢得五十二兩二錢】以右三徧乘左【中十一得三十三下二十三兩七錢得七十一兩一錢】各得數相減中余二十七為法下余一十八兩九錢為實以法除實得七錢為隔母之數別取甲乙共數【二十三兩七錢】并入隔母七【得二十四兩七錢】減半得一十二兩二錢為甲金數內減差數七得十一兩五錢為乙金數其余以七遞減各得【丙十兩八錢丁十兩一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩】
問竹筩一莖九節下大上細下三節共盛粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知數要見每節盛粟若干亦先求隔母數為逐節相較之率取上三列左下四列右以右四加一為五與右四相乘得數【二十】減半【一十】又減右四得六為右中率別以左三乘總位【九】得數【二十七】內減右中率六得二十一為左中率各以所共盛之數從之
右四 六 三升
左三 二十一 三升九合
乃以左三徧乘右【中六得一十八下三得九分】以右四徧乘左【中二十一得八十四下三升九合得一十五分六厘】得數相減中余六十六為法下余六十六為隔母率別以左三共粟為實【三升九合】以法【六十六】乘之【得二百五十七分四厘】以三除之【因系三節故也】得八十五分八厘是第八節數加母率【六分六厘】得九十二分四厘是第九節數若減母數【六分六厘】得七十九分二厘是第七節數其余遞減母率【第六節得七十二分六厘第五節得六十六分第四節得五十九分四厘第三節得五十二分八厘第二節得四十六分二厘第一節得三十九分六厘】而仍以法除之【第一節六合第二節七合第三節八合第四節九合第五節一升第六節一升一合第七節一升二合第八節一升三合第九節一升四合】其以中余【六十六】為法下余為實以法除實者得一合為隔母率以三除左總【三升九合】得一升三合為第八節數以一合加減之亦得第七節第九節數以次推之同前
問四雀六燕七鷦共集于衡重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩六分三禽各重若干法置左右中三行三色及總重作四段列之先以右行五雀徧乘中行【雀一十五燕二十五鷦四十五共重四兩零五】
再置前圖減余而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行余四燕 余廿一鷦【四十二】共余八錢七分【一兩七錢四分】余二燕 余三鷦【十二】 共余二錢一分【八錢四分】
乘訖對減鷦余三十為法共重余九錢為實以法除實得三分為一鷦之衡就以乘左余鷦三得九分以減左重余一錢二分為二燕之衡即知每燕重六分也【既得一鷦之衡以乗右余鷦二十一及減右重亦得每燕六分】乃于前左行原價八錢九分之內減去原鷦七【二錢一分】原燕六【三錢六分】各重數其余三錢二分以雀四除之得雀重八分【或于前右行中行原數內減乘皆同】問牛一頭馬一匹驢三匹皆載物七百斤上坡皆不能上牛借馬一匹馬借驢一匹驢借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及總物為四段
正牛一 借馬一 ○ 七百斤
○ 正馬二【二】 借驢一【一】 七百斤
借牛一 ○負一【二】 正驢三【六】 七百斤【一千四百斤】
先右行正牛一徧乘左行得數又以左行借牛一徧乘右行得數【乘借馬一一如一乘物仍七百斤】對減盡因左行中○無減乃仿右馬乘出之數為立負馬一以俟另乘次以中行正馬二徧乘左行中下得數【負一得二原驢得六下物一千四百斤】復以左行負一為法徧乘中行中下得數【正馬得二借驢得一下物仍七百斤】以對減正負馬同名減盡正借驢異名相并得七為法下物同名相減余七百斤為實以法除實得驢力一百斤取中行物實【七百】內減一驢之力余六百即二馬之力以二除得每馬三百斤又于右行物實【七百】亦減一馬之力余四百即一牛力右法或更置其位先求一馬之力借驢一 正馬二【左六】○ 七百【二千一百左減余一千四百】○ 借馬一【六】正牛一【六】七百【四千二百左減余三千五百】正驢三 ○負六【六】借牛一【一】七百【七百】
先以右行借驢一徧乘左行中下得數亦即以左行正驢三徧乘右行中下得數【正馬得六下物二千一百】因左馬空○乃如右馬乘得之數亦置負六相減三畜俱減盡下物余一千四百次以中行借馬一徧乘左行中下得數而以左行負六徧乘中行中下【借馬六正牛六下物四千二百】牛數正借異名以相并得數七為法下物中左同名相減得三千五百又以右下余物減之得二千一百為實以法除實得三百斤為一馬之力然后取右行物實減二馬力余一百見一驢之力又取左行物實減三驢之力余四百見一牛之力
問硃二斤黃三斤價錢二千四十文又黃五斤碌六斤價六百四十文硃三斤碌七斤價二千九百八十文三色各價若干依式左右中列之
硃二 黃三【九】 ○ 價二千四十文【六千一百二十】○ 黃五【四十五】碌六 價六百四十文
硃三 ○負九【四十五】碌七【一十四】價二千九百八十文【五十九百六十】
先以右行硃二徧乘左行得數【碌得一十四價得五千九百六十】次以左行硃三徧乘右行得數【黃得九價得六千一百二十文】于左行○位照右立負九而與右行相對三色俱減盡其價余一百六十文又以中行黃五另列右徧乘左行【碌七十價得八百】以左行負九另列左徧乘右行【碌得五十四價得五千七百六十】
黃五【四十五】碌六【五十四】 價六百四十【五千七百六十】○負九【四十五】碌余一十四【七十】價余一百六十【八百】
以相減黃與○同數減盡碌系正負異名并得一百二十四為法兩價同名相減余四千九百六十為實以法除實得四十文為碌一斤之價乃于前圖中行原價內減碌六斤價【二百四十】余四百文悉黃價以黃五除之得每斤價八十文又于右行原價減黃三斤價【二百四十】余一千八百文悉硃價以二除之得每斤九百文
問鴈二雉三換谷五斗七升鴈五兎四換谷一石雉二兎二換谷五斗三升每色每個價谷若干先以右行鴈二徧乘左行得數【鴈一十兎八谷二石】亦以左行鴈五徧乘右行【鴈一十雉十五谷二石八斗五升】以相減鴈盡系○照立負十五兎無減仍八谷余八斗五升
鴈二 雉三【左一十五】○ 谷五斗七升【左二石八斗五升】○ 雉三【左四十五】兎二【左三十】谷五斗三升【左七石九斗五升】鴈五○負十五【中四十五】兎四【右八中二十四】谷一石【右二減余八斗五升中乘二石五斗五升】另以中行雉三徧乘左行中下【雉負四十五兎二十四谷二石五斗五升】左行雉負徧乗中行中下【雉四十五兎三十谷七石九斗五升】以相對雉減盡兎系正負異并得五十四為法價谷同名相減余五石四斗為實以法除實得一斗為一兎價就于中行谷內減二兎價余三斗三升悉雉價以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行谷內減三雉價余二斗四升悉鴈價以右鴈二除之得每鴈一斗二升
問賣二牛五羊買十三豕余價銀五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩各價若干此以賣為正買為負余為正不足為負而正為主則同減異并負為主則同并異減如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得數【牛正二羊負六豕正二】其中行牛一亦徧乗右行【牛二同正減盡羊正五與中行負六異名并得負十一豕負十三與中行豕正二系異名并得正十五價正五中空無減】又右行牛二徧乗左行【牛十羊十二豕十六價六】其左行牛五亦徧乗右行【牛十正負異名減盡羊正二十五與左正十二同名并得正三十七豕負六十五異減豕正余得負四十九價正二十五異減左負余負一十九】依法或減或并訖
牛正二【中二 左一十】羊正五【中五 左二十五】豕負十三【中十三 左六十五】正五兩【中五 左二十五】牛正一【右二】羊負三【右六】豕正一【右二】 ○足
牛負五【右一十】羊正六【右十二】豕正八【右一十六】負三兩【右六】乃別列減并之數仍分正負互乘之如后圖羊負十一為法以乘左行中下【羊正得四百零七豕負得五百三十九價負得二十兩九錢】亦以羊正三十七而乘右行中下【羊負同數異名減盡豕正得五百五十五與左豕負異名減余一十六價正一十八兩五錢與左異減余二兩四錢】以減余豕正一十六為法價正二百四十為實以法除實得豕價一兩五錢就以右行豕正十五乘【二十二兩五錢】加正價【五兩】共二十七兩五錢俱羊價以十一除之得每羊二兩五錢復以前圖右行豕負十三乘豕價得數【一兩五錢】加入正價【五兩】共二十四兩五錢為牛羊總價內減右行五羊之價【一十二兩五錢】余一十二兩悉牛價以牛二除之得每牛六兩
羊負一十一 豕正一十五【五百五十五】價正五【一十八兩五錢】羊正三十七【四百七】豕負四十九【五百三十九】價負一十九【二十兩九錢】問買柰二梨四共錢四十文梨二桃七亦共錢四十文桃四榴七共錢三十文梨八柰一共錢二十四文各價防文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰為法彼此互乘以甲柰二徧乘丁【梨空桃空榴一十六錢四十八文】丁柰一徧乘甲【桃榴俱空錢仍四十文對減余八文】因丁梨空當照甲立負四次當以乙丁柰互乘乙無柰取梨二徧與丁乘【梨負得八桃空榴三十二錢一十六文】丁亦以負梨四徧乘乙【梨八減盡桃二十八榴空錢一百六十文并得一百七十六文】因丁桃空亦照乙立負二十八次以丙桃徧乗丁【桃一百一十二榴一百二十八錢七百零四文】丁亦以桃負二十八徧乘丙【桃一百一十二減盡榴一百九十六減余六十八錢八百四十文減余一百三十六】相減訖取此余榴六十八為法余錢一百三十六文為實其甲乙與丁互乘之數但求應立負數以為乘母而減并之數皆置不用者也以法除實得二文為榴價乃就丙價三十文內減七榴之價【十四】余錢一十六文俱桃價以四除得每桃四文又于乙價四十文內減七桃之價【二十八文】余錢一十二文俱梨價以二除得每梨六文又于甲價四十文內減四梨之價余一十六文俱柰價以二除得每柰八文
甲柰二 梨四 ○ ○ 四十文
乙○ 梨二桃七【二十八】 ○ 四十文
丙○ ○ 桃四 榴七【一百九十六】三十文【八百四十文】丁柰一 ○負四【八】○負二十八 榴八【一十六 一百二十八】二十四文【四十八文】問井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之
及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一
用丁繩五則借戊一用戊繩六條則借甲一乃
俱及泉其井深若干五等繩各長若干列五行
以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙
三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十
以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一
為井深積列位
一 甲二 乙一 ○ ○ 七百二十一二 ○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三 ○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四 ○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○【負一】 ○【負一】○【負一】戊六 七百二十一乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲二為法徧乘五行【甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二】五行甲一亦乘一行對減【甲二得二減盡乙一得一因五行乙空立負一積七百二十一得本數以減五行仍余七百二十一】次以二行乙三為法乘五行【乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三】五行乙負一亦乘二行【乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數并入五行積二十一百六十三共二千八百八十四】再以三行丙四為法乘五行【戊正三十六得一百四十四積二千八百八十四得一萬一千五百三十六】五行丙負一亦乘三行【丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數與五行積一萬一千五百三十六對減余一萬八百一十五】又以四行丁五為法乘五行【丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬八百一十五得五萬四千七十五】五行丁負一亦乘四行【丁五得五減盡戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一積得本數并入五行積五萬四千七十五得五萬四千七百九十六】乃以最后所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得一百二十九為丁繩一丈二尺九寸以減三行積【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸亦減二行積余五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行積余五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸
遞加法第九
數始于微積于鉅漸加漸賾覽之茫如然有定數可推如人數物數有分有總但知一隅亦可例推也為立法如左
右超位加各審其母如超一超二超三四之類各以所超為母其間少者易知多者難定大率以退位減之余數即母
凡超位數截取三位較之其前后二位數必倍于中位數
若截四位較之則前后二位與中二位數等
以上皆取位置勻列超母相同者論之雖所超多位如超五超六至千萬位但同超母者截取前后逺數相并較其進內挨身兩位相并其數皆等
右凡加數以求總積之實不論累加超加及超二超三等但系遞加者只除首位單一不用外取次位與末位數并為實其中間亦不拘防位但察自前至后布位之數為法乘之所得之數皆倍各位實積之數以減半得總數如右式以前四后三十七并之共四十一數系一十二位以一十二乘四十一得四百九十二減半為二百四十六即其十二位之全數若以前四后十六并之共二十數系五位乘得一百減半得五十即五位全數也【如欲連首位算則再加一云】
此超八
遞加者
右式假如方箭一束外周六十四枝問中積數防何者凡方物必以八包一每層超八遞加今置中心一枝不算【即首位之一】以內層之八并外周六十四共七十二以八位乘之得數【五百七十六】減半得八位之總數加中心之一為二百八十九枝凡平方面有中心之一者仿此
此超六遞加者
右式假如圓箭一束外周三十六枝問中積者凡圓物必以六包一每層以六遞加今置中心一枝不算外以內層之六并外周三十六共四十二以六位乘之得數【二百五十二】減半得六位之總數再加中心之一為一百二十七枝凡平圓面仿此
此超九
遞加者
右式假如有三棱物一束外周七十二枝問積者凡三棱物必以外九包中一每層超九遞加置中心一枝不算外以內層之九并外周七十二共八十一以八位乘之得數【六百四十八】減半得八位之總數再加中一為三百二十五枝凡三棱面者仿此
若順數而加自一而二而三而四以遞相加者另是一法但取最后二大數相乘得數亦以減半即得最后第二位以至首位之數惟余最后第一位在外又并入得全數
右式假如有物倚墻一面尖堆最下一行濶十五枚問總積若干取最下二行【一十五一十四】相乘得數【二百一十】減半【一百○五】又加入下行十五得一百二十枚合總
一法取下行加一為法以乘下行得數減半亦同
若首位不系一數而自二數或三或四為首者并首尾二位為實而以首位數減尾位數其余數加一為法乘之減半合總
假如有物倚墻一面平堆下濶十四枚上濶四枚問總積者并首尾二位得一十八為實就尾位減首位得一十外加一共一十一乘之葢原系十一位也以乘得數【一百九十八】減半得九十九枚合總
又假如眾人醵錢首位出八文末位出六十文問總數總人者以首位減末位余五十二外加一系五十三位乃并首尾二位錢數以乘五十三得三千六百四文合總
若自一而三而九俱以陽數超加者但看位數以自乘得全數
此皆陽位但據位數自乘如系一十位自乘得一百之類其陽數超加已知首尾兩位之數而未知中間若干位者但取尾位之數外加一以減半得位數如右式尾位十九加一得二十減半則十位也但系陽數雖至百千萬位皆同此法
若自二而四而六俱以陰數超加者取最后一位之數減半即得位數再以減半數外加一而與位數相乘即得自首至尾全數
四 取二十四減半見位數又減半加一為十三二 以乘位數十二得一百五十六見全數
又若自二數起遞加至一百數止但取一百減半知是共五十位再加一為五十一以乘位數五十得二千五百五十即五十位之全數
若多中起數超位遞加但知位數及首位數及所超母數而未知最后一位數者但審布位若干于內減一以乘超母【如超一則一為母超八則八為母之類】得數加入首位數即得尾位之數既得首尾二位乃照前首尾相并而以位乘減半得全數
此超八遞加者計十位減一為九與八相乘得七十二再加首位三得七十五為末位數又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十減半三百九十合全數
假如有牛四十區但云第一區是三十頭余區遞加二十頭今問第四十區防頭依前法就四十減一為三十九與超母二十相乘得七百八十再加首區三十知是八百一十乃最后一區之數也再問各區總數防何照法以首區三十加末區共八百四十以乘區數四十得三萬三千六百減半得一萬六千八百頭為各總數若但知末區數及母數位數而不知首區數者照前以區數減一與母數相乘得數而以末區數減之即得首區之數【如前乘得七百八十而末區系八百一十相差三十即知首區系三十頭】
假如發兵破一賊巢有二十人先登以登城先后敘賞其第二十人賞銀一百兩第十九人賞一百三十兩其余遞加三十兩問第一人該銀防何此以二十為位減一為十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十兩為第一人所賞之數也若問此二十人共銀幾何照法并首尾二數得七百七十與位數二十相乘減半得七千七百兩見全數
若但舉總數及超數及首尾共數而不知系幾位亦不知首尾二位數各若干者以總數為實以首尾數減半為法除之得位數又以位數減一乘超母得數即用此數為主若
以并首尾共數減其半即尾數若
以較首尾共數減其半即首數
右式假如貸錢起息每日増錢六文共積子母錢三百二十文不言每日細數但云并初末日共錢一百六十文問初末日各防文其起息計幾日者以日為位立總錢三百二十為實并初末減半得八十除之得四日依法減一為三乘増母之六得一十八以并初末數得一百七十八減半是末數若以較初末數余一百四十二減半是初數
若但舉中積及位數及首尾之較若干以求首尾各防何者倍中積為實以位為法除之得數以較減之半其余得首數乃以較加之得尾數
右假如織布自冬至始厯十三日共織一千三百五十二寸因晷漸長其功日加六寸末日視首日多織七十二寸問首日末日各織防許者倍中積得二千七百四寸為實以積日十三為法除之得二百零八以較減之得數又減半合首數六十八以較并入亦減半合末數一百四十
若但知位數總數及超母數而未知每位得若干數者取位數列之去尾數余并之【如系九位則但用一二三四五六七八共三十六數除九不用】以乘超母得數減總乃以位數歸其余得首位數乃以超母遞加得各位細數
假如兄弟九人遞差三嵗共二百○七嵗欲知每人防何者照右法置母數【三】乃取位數內除去尾數九只以八位細數并之得三十六以乘母得數【一百零八】以減總數余九十九以九除之得最幼一人嵗數【一十一】乃以三遞加之得諸人嵗數
共八位以一十
七為超母總數
九百九十六
假如鈔九百九十六錠分給八人遞差一十七錠各若干取位數除去尾八并自一至七之數共二十八以乘超母一十七得數【四百七十六】以減總余五百二十以八除得最少一人數【六十五】仍以一十七遞加得諸人數若超位遞加但知系防位及各位總數而未知超母防位亦未知各位細數與首尾二位數第云前防位共若干后防位共若干以求各位細數者依母子互乘法求之以所知前防位后防位為母以前共若干后共若干為子互乘得數相較為實又并其母減半以較總位余若干而以兩母相乘之數乘之得數為法以法除實得超母加入所知之數如系二位者加入折半得多者數如系三位者加入三歸得中數乃依超母遞加遞減得全數
假如八人差等分錢但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文問每人防文者以二人乘六十六【得一百三十二】以三人乘七十七【得二百三十一】以相較余九十九為實并分母【二三】得五減半得二零二之一以減總位【八】余五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三為法以法除實得三為超母之數并入甲乙減半得四十為甲衰若求己庚辛則三歸之得中間之庚衰乃以超母遞加遞減得全數○外如系戊己庚辛四位者三歸之得己庚共數又加減超母之半得己庚數
倍加法第十
數有挨次遞加者以一數為遞母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者
右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一見二以二二見四以二四見八以二八見十六也第三式倍一加者以二三見六以二六見十二也第二式倍三加者以三三見九以三九見二十七以三個二十七見八十一也此由少進多之法假如欲尋其母則取挨身小數減其大數知之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也凡挨次遞加者由少加多其多至于無窮葢凡數從多減少其減至于單數而止無復零分之可減也惟此倍加之數則進而加之無窮減而約之亦無窮剖之又剖細微毫忽按法而約求焉豈可以數盡乎
此以倍一約之其數無窮余法皆同
右數假如截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位數之自乘者等【假如八四二共三位以二八相乘得十六以中間之四自乘亦十六】若截取四位而以首尾二位相乘其所得數與中二數相乘者亦等【假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中間之八與四乘亦得卅二】雖至許多位但以首尾二位相乘其所得數與挨身次二位俱相等步步乘入皆無不同至于最中若有單位以之自乘亦復如是
此外乘與進
內乘皆同中
單自乘亦同
凡倍加之數不論防位欲知總數但取首尾二位為主以首最小數減尾最大數而以其所剰大數依后法求之如系加一倍者【即二因】先取尾大數倍之內減首數得全數如一二四八【六二四一三六】此七位者取尾六十四倍得一百二十八數減首位一得一百二十七即此七位之細數【加一倍者自一起手用此法其加二加三者雖亦自一起手但各另有倍母則另如后法以倍母為首位不以一為首位云】如系加二倍者【即三因法】取尾后最多數內先減首位之數而以余數二歸【縁三因者系加二倍故以二為倍母而用二】取其所得之數并入尾位大數即得中間防位細數凡四因五因以至六七等類皆同此法而四因三歸五因四歸【各減因數之一者依所倍之數為母也】余皆同
此系四因者三
倍于本數以相
加也用尾位數
內減首位數實
剰四萬九千一
百四十九以倍母之三除之得一萬六千三百八十三加入四萬九千一百五十二共得六萬五千五百三十五是八位全數
又有加一倍又二之一遞進者即四六衰分法也
此一因半
右四六衰分倍加系一因有半者若欲求其各位總數亦取尾位數【四十五又十六之九】內減首位數【除四得四十一又十六之九】如前法亦減除法一數【十一因半減其一也如前三因者用二及四因用三之類】而用半以除之【以半為倍母以除之者是一化為二】得八十三零八之一以并尾數總共得一百二十八零十六分之十一也為七位細數
凡二因半三因半等類仿此其除法俱只減其一數凡倍加數不論共有防位但就中抽取一位自乘但看自首挨來是防位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之數即與此后第四位之數相同【即九位】不特此也又如取第五位與第七位相乘其五位前凡有四位則其第七位后亦管四位其五位七位乘得之數即與第十一位之數相同如后式
假如后式十六系第五位前有四位后亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰與后四位之數相同
又假如三十二系第六位前有五位
今以三十二自乘得一千二十四即合后第五位之數一又假如八系第四位與七位之六十四相乘以八前凡有三位則六十四之后亦管到三位今以八乘六十四得五百十二數亦與第十位之數相合其相離亦三位故也又法不必算其前后之位但看所自乘數為第防位以本位數加一倍內減一即得同數之位假如第六位倍六得十二內減一為十一位則第六位自乘所得之數正合第十一之數與前法理同而更為捷徑
又法不必減一但先排倍數于右次排位數于左相對而于位前加一【即以○見所減之一】其余以次察之
凡所得位數但系自乘者只一位以位數倍之但系互乘者有兩位以兩位數積之
右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四則十六之數即第四位之數也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六數其八之本位系三位三十二之本位系五位三與五并共得八即系第八位數 以上乃首位起一者
若首位非自一起【如二或三或四五之類】則自乘互乘皆先取首位之數分之【如首位四則以四分其所得】而后倍位積位如前法
假如以八十自乘得六千四百因首位非從一起而從五起先以首位之五而分之得一千二百八十數仍取列位之四倍之為八則對八之數
又假如以四十與六百四十相乘得二萬五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以兩位相積其一是三其一是七合對十之數
凡倍一加者【即二因】就中隨意截取一位以其本數減一即合此位以前各位之細數此除本身而言然必從一數起者合此
假如截取一百二十八數內減一得一百二十七數即合第六位以前之總數葢自六位之六十四以前各位細數總得此
又假如右式以對八位之二百五十六數而求本位以前各位之總依前法以次位求之次位減一得五百一十一乃對八以前各位細總也若就以此八位為主外加一作五百一十二以自乘得二十六萬二千一百四十四數內再減一此何數乎按實對八之位乃系第九位此前既有九位此后亦管九位乃是第十八位以前各位細數也葢以倍位所對之本數自乘則得對位加倍之本數此用倍位法看之如不以本數乘而以積出本位以前諸位之全數乘則又推得本位以后相對若千位之全數此則不用倍位而用實位得之者實位者如本位前實有九位則本位后再管十位即其相對之位之全數也須減一數始合不減一數則進越一位矣
假如借銀一忽每日加息一倍至第六十四日該息防何依前法推之試如一二四八此四位共十五數加一自乘得二百五十六內減一余二百五十五即系八位之數蓋自首位一至第八位之一百二十八其細數乃二百五十五數也再以此加一【二百五十六】自乘得六萬五千五百三十六內減一余六萬五千五百三十五即知其為第十六位之數再以此數加一得六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六內減一即知其為第三十二位之數凡四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五數又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬零七百三十七億又九百五十五萬一千六百一十六忽內減一即知其為第六十四值之數凡一十八兆四千四百六十七億四千四百零七萬三千七百九兩五錢五分一厘六毫一絲六忽也
同文算指通編卷五
欽定四庫全書